M3.II.4 ABL Linearkombinationen von Vektoren als LGS

Auteur :MaTeGnu, GeoGebra Team, GeoGebra Team

Bisherige Aufgabe aus Kapitel I

Sie sollten im Arbeitsblatt M3.I.1c AB Linearkombinationen von Vektoren in Kapitel I prüfen, ob ein bestimmter Vektor

als Linearkombination von anderen Vektoren

(also als Summe von Vielfachen der Vektoren) darstellbar ist:

. Sie haben im Arbeitsblatt mit GeoGebra die unbekannten Faktoren

der Vektoren

und

bestimmt als Linearkombination zum Vektor

Aufgabe 1

Untersuchen Sie die nachfolgende Lösung des Beispiels aus Kapitel I mit GeoGebra CAS und identifizieren Sie in den Eingaben die Komponenten der Vektoren. (Tipp: Die unbekannten Faktoren wurden hier mit

bezeichnet.)

M3.II.4 App Linearkombinationen als LGS

Idee der Lösung

0.	Ausgangspunkt ist die Gleichung der Linearkombination , im Beispiel .
1.	Multipliziert man die Faktoren mit dem jeweiligen Vektor ergibt sich aus der Gleichung der Linearkombination nach der Rechenregel der Multiplikation eines Vektors mit einem Faktor.
2.	Nach der Rechenregel zur Addition von Vektoren kann man die Gleichung weiter zusammenfassen:
3.	Jetzt kann man die Vektoren auf der linken und rechten Seite der Gleichung komponentenweise vergleichen, denn beide Vektoren müssen in allen Komponenten übereinstimmen.
4.	So erhält man drei einzelne Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen:

Gleichungssystem: Die drei einzelnen Gleichungen bilden ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das mithilfe von GeoGebra CAS gelöst werden kann.

Aufgabe 2

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem in GeoGebra: Die Anleitung hilft Ihnen dabei. Geben Sie anschließend die dazu passende Gleichung der Linearkombination an.

Vérifier ma réponse

Sie sind dran...

Anleitung

1.	Geben Sie die erste Gleichung `x+2y+3z=60` in die Eingabezeile ein und drücken Sie Enter.
	Hinweis: Im CAS-Rerchner werden die Gleichungen bei der Eingabe NICHT automatisch beschriftet. Im Kontextmenü können Sie dies über `Beschriftung hinzufügen` nachholen.
2.	Geben Sie die zweite Gleichung `gl2: 2x-3y+5z=68` in die Eingabezeile ein und drücken Sie Enter.
3.	Geben Sie die dritte Gleichung `gl3: -x+y-z=-13` in die Eingabezeile ein und drücken Sie Enter.
4.	Öffnen Sie das Kontextmenü und wählen Sie Lösen, um das Gleichungssystem zu lösen.

Anmerkung: Die Lösung des Gleichungssystems wird als Liste mit den entsprechenden Werten für die Variablen x, y und z angezeigt. Sie können den Umschaltbutton

für numerische Ausgabe auswählen, um die Lösungen als gerundete Dezimalzahlen anzuzeigen. Wählen Sie den entsprechenden Umschaltbutton

, um wieder die symbolische Ausgabe zu erhalten.