Bernoulli-Gitter und die Formel von Bernoulli

Autor:
Andreas Brinken

Grundwissen zum Verständnis:

  1. Geht man bei n Teilschritten auf dem Weg von A nach B genau k Schritte nach rechts und die anderen n-k Schritte nach unten, so wählt man aus einer Menge von n unterscheidbaren Elementen genau k Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge aus. Daher gibt es genau "n über k" mögliche Wege.
  2. Jeden Teilschritt nach rechts gewichtet man mit der Trefferwahrscheinlichkeit p und jeden Schritt nach unten mit der zugehörigen Gegenwahrscheinlichkeit 1-p.
Mit diesen beiden Vorüberlegungen verdeutlicht man mit dem Bernoulli-Gitter sehr schön die Bestandteile der Formel von Bernoulli. Tipp: Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten mit den Werten der Animation Säulendiagramm zur Binomialverteilung bei der (grünen) Einstellung P(X=k) und z. B. n=10.

Nachteile von Baumdiagrammen gegenüber der Bernoulli-Kette:

Wahrscheinlichkeiten zu Bernoulli-Ketten kann man natürlich auch mit einem Baumdiagramm veranschaulichen. Dieses ist dem Bernoulli-Gitter jedoch in folgenden Punkten unterlegen.
  • Eine n-malige Verzweigung führt im Baumdiagramm zu insgesamt Pfaden. Für n=10 sind das bereits 1024 Pfade. Für wird solch ein Baumdiagramm daher sehr unübersichtlich.
  • Das Zeichnen solcher Baumdiagramm ist aufwendig und nimmt viel Zeit in Anspruch.
  • Die günstigen Wege für k Treffer lassen sich nur schwer im Baumdiagramm veranschaulichen.
  • Die jeweils günstigen Pfade für benachbarte Trefferzahlen liegen nicht beieinander sondern sind meist über die ganze Breite des Diagramms verteilt..

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