Wie sehen Graphen aus der Nähe aus? | Funktionenlupe | Didaktische Hinweise
Kurzinformation
- Link zum Material für Lernende: https://www.geogebra.org/m/mf29bdrq
- Steigung der Tangente an einen Graphen als Modell der Steigung eines Graphen an dieser Stelle
- Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A)
- Einführungsphase Mathematik
Leitgedanke zur Aktivität
Der Vorstellungsaufbau der Ableitung als lineare Approximation ist das zentrale Anliegen der zusammengestellten Aktivitäten.
Dabei wird die Funktionenlupe als tragfähige Darstellung verwendet, um die Linearisierbarkeit in einem Punkt und die rechtsseitigen und linksseitigen Sekantensteigungen zu erkunden und die Erkenntnisse in Übungen angewendet und die Funktionenlupe als Werkzeug geschult.
Vorwissen und Voraussetzungen
Die SchülerInnen können...
- Grundfunktionen von GeoGebra-Grafikrechner nutzen (Schieberegler, Eingabefeld, Ansicht verschieben).
- Tangenten und Sekanten an Graphen unterscheiden
- Steigungen linearer Funktionen bestimmen
Beiträge zum Kompetenzerwerb
Die SchülerInnen...
- erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate und nutzen die Schreibweise (MSB NRW, 2023, S. 22, Funktionen und Analysis (A),
- deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate sowie als Steigung der Tangente an den Graphen (MSB NRW, 2023, S. 22, Funktionen und Analysis (A)).
Didaktische Hinweise
Ziel und Verlauf
- Die Aktivitäten sind innermathematisch angelegt und dienen dem Aufbau der Grundvorstellung der Ableitung als lineare Approximation. Es ist für den Lernprozess hilfreich, wenn die erste Begegnung mit dem Ableitungsbegriff im Kontext stattgefunden hat.
- In Aktivität 1 wird Differenzierbarkeit über Linearisierbarkeit charakterisiert. Der geometrische Zugang eröffnet einen intuitiven Zugang zum Ableitungsbegriff als lokale Steigung, die direkt erfahrbar wird. In Aktivität 2 wird dieses präformale Konzept weiter mathematisiert und über die Grenzlage der Sekanten ausgeschärft. Hier insbesondere durch das Aufzeigen von Funktionen mit nicht-differenzierbaren Stellen die Notwendigkeit der formalen Definition motiviert, die in ihrer geometrischen Bedeutung aber direkt auf den präformalen Grundgedanken der Linearisierung in Aktivität 1 anschließt.
- Aus Aktivität 2 wird auch ersichtlich, dass Differenzierbarkeit von Funktionen eine besondere Eigenschaft ist, die in der bloßen Betrachtung von ganzrationalen Funktionen schwierig zu begründen ist.
- Aktivität 3 verknüpft die geometrische Vorstellung des Ableitungsbegriffs mit klassischen Schulbuchaufgaben. Dabei kann durch Verschieben des Punktes Werkzeugkompetenz im graphischen Untersuchen von Funktionen geübt werden und der Lösungsweg ebenfalls befehlsbasiert begangen werden. Schließlich kann bei entsprechendem Vorwissen aus der Bearbeitung auch eine Strategie zur hilfsmittelfreien Bearbeitung dieser Aufgabe angeregt werden.
- Der offene Zugang und die übersichtlichen Variationsmöglichkeiten im Applet bieten Gelegenheit zum Explorieren.
- Die Applets lassen keine exakten Lösungen zu, sodass insbesondere bei den Vermutungen zum Grenzprozess Begründungen eingefordert werden und ein Aushandeln von Lösungen ermöglicht wird.
- Im Applet werden die Darstellungsformen des Graphen und des Funktionsterms miteinander vernetzt. Weiter werden durch die lokale und die globale Ansicht der Blick aufs Ganze und der Kovariationsaspekt verknüpft.
- Die Aktivitäten sind selbstdifferenzierenden Aufgaben und bieten individuelle Zugänge durch die freie Wahl der untersuchten Funktion. Sie ermöglichen daher unterschiedliche Lernwege, auch für schwache SchülerInnen durch Vorgabe bestimmter Funktionen als auch für stärkere SchülerInnen durch Wahlfreiheit der untersuchten Funktionen. Insbesondere die Betrachtung des Grenzwertprozesses "unendliche Vergrößerung" in Aktivität 1 und die Aufforderung zum begründeten Vermuten bietet starken SchülerInnen Herausforderungen. Hierbei können die selbstgewählten Aspektierungen in individuellem Lerntempo bearbeitet werden.
- Als Hilfestellung zur Verbalisierung des Lernweges in Aktivität 1 Aufgabe 1 ist ein Wortgeländer angefügt.
- Als zentrales Hilfsmittel zur Erbeitung der Steigung einer ganzrationalen Funktion dient die Tangente an den Funktionsgraphen, die als elementargeometrisches Objekt und als lineare Funktion ab der Mittelstufe bekannt ist und an Vorwissen anknüpft.
Schieberegler
Veränderungsvorschläge / Zusätze im Material
- Die Aktivität 1 kann auch mit der Aktivität Tangentenstückchen verknüpft werden.
Aktivität 1 | Wie sehen Tangenten an einen Punkt an Graphen aus der Nähe aus?
https://www.geogebra.org/m/xrrwxjg8
Die Lernenden untersuchen den Verlauf der gegebenen und selbstgewählter Funktionen im Vergleich zur Tangente bei wachsender Vergrößerung.
Die Lernenden vergleichen den Verlauf eines gegebenen Graphen um eine Stelle mit der Tangente an den Graphen an dieser Stelle in mehreren Vergrößerungsstufen und begründen die sinkende Ungenauigkeit der Näherung durch Linearisierung.
Die Lernenden stellen Hypothesen auf, wie sich die Verläufe ändern, wenn die Vergrößerung gegen unendlich geht und begründen diese.
Die Lernenden prüfen die Aussagen im Multiple-Choice-Format und begründen sie in Freitextantworten.
Die Lernenden stellen den Zusammenhang zwischen der Steigung an einem Punkt und der Steigung der Tangente her und begründen die Sinnhaftigkeit durch den Linearisierungsgedanken bei hinreichend großer Vergrößerung der Lupe.
Aktivität 2 | Wie sehen Sekanten durch Graphen auf kleinen Intervallen aus der Nähe aus?
https://www.geogebra.org/m/xgngarxh
Die Lernenden untersuchen näherungsweise Grenzwerte der Sekantensteigungen um einen Punkt auf verschiedenen Funktionsgraphen. Die Funktionsgraphen sind dabei ganzrational oder an diesem Punkt nicht differenzierbar.
Die Lernenden untersuchen die Folge von Sekantensteigungen für immer kleinere h um einen Punkt. Dabei vernetzen sie Darstellungsformen (Graph der Sekante, Steigungsdreieck, Steigungswert als Punkt aufgetragen) und deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten.
In einem weiteren Schritt begegnen sie nicht differenzierbaren Funktionen und beschreiben die Konvergenz der Sekantensteigungen für immer kleinere h als besondere Eigenschaft von (ganzrationalen) Funktionen.
Die Lernenden erklären die Notwendigkeit der eindeutigen Konvergenz von beiden Seiten für die Existenz der Tangente an einen Punkt.
Aktivität 3 | Übung: Differenzierbarkeit prüfen
https://www.geogebra.org/m/dwvj7xq3
Die Lernenden können in dieser Aktivität übend überprüfen, ob die Lerninhalte verinnerlicht wurden. Als Übungsaktivität können zufällig Aufgaben generiert, gelöst und automatisch ausgewertet werden (richtig/ falsch).
Die Lernenden wenden dabei direkt die Kompetenzen an, die sie in den vorangegangenen Aktivitäten erlernt haben sollen. Diese Aktivität kann daher auch für Prüfungssituationen herangezogen werden.
Aktivität 4 | Übung: Punkt gleicher Steigung finden
https://www.geogebra.org/m/xxnbydrc
Die Lernenden erlernen in dieser Übung GeoGebra als Werkzeug einzusetzen, indem sie sowohl graphisch basiert als auch befehlsbasiert zu einer gegebenen Tangente auf einem Graphen den Punkt finden, an dem die Tangente die gleiche Steigung hat.
Dabei vertiefen Sie das Gelernte in einer handlungsorientierten Übung und schulen ihre Werkzeugkompetenz.
Überprüfen des Lernerfolges
Während der Unterrichtssequenz prüfen die Lernenden ihre eigenen Beobachtungen und Erkenntnisse an den Aussagen im Multiple-Choice-Format. Da hier mehrere Antworten richtig sind, bieten sich individuelle Zugänge und differenzierte Argumentationsmuster an, an denen die inhaltliche Korrektheit und Tiefe der Verarbeitung der Aktivität abgelesen werden kann.
Aktivität 3 ist ein Übungsapplet, das zur Überprüfung des Lernerfolgs genutzt werden kann.
Nach der Unterrichtssequenz bietet sich eine plenare Diskussionsphase an, in der sich die Lernenden über ihre Entdeckungen austauschen und unterschiedliche Aspektierungen der Untersuchungswege vorstellen können. Insbesondere in der Beschreibung des Grenzwertprozesses wird der Kompetenzzuwachs ersichtlich.
Prüfungssituation
Eine mögliche Prüfungssituation, die die erlernten Prozess- und inhaltsbezogenenen Kompetenzen anspricht und die zugehörigen Werkzeugkompetenzen fordert, findet sich in der PDF-Datei "Prüfungssituation Funktionenlupe - Differenzierbarkeit".
Links zu Quellen
- Kirsch, A. (1980). Folien zur Analysis: Das Funktionenmikroskop. Serie A: Die Steigung einer Funktion. Schroedel, Hannover.
- Elschenbroich, H.-J. & Seebach, G. & Schmidt, R. (2014): Die digitale Funktionenlupe. Ein neuer Vorschlag zur visuellen Vermittlung einer Grundvorstellung vom Ableitungsbegriff. In: mathematik lehren 187. S. 34 – 37.
- Heintz, G., Elschenbroich, H.-J., Laakmann, H., Langlotz, H., Rüsing, M., Schacht, F., Schmidt, R., & Tietz, C. (2017). Werkzeugkompetenzen. Kompetent mit digitalen Werkzeugen Mathematik betreiben. Medienstatt. S. 108 ff
- https://www.geogebra.org/m/pdgY55Gg
- http://www.funktionenlupe.de/