Posiciones relativas entre dos rectas en el plano
- Autor:
- profeDomingoHely Perez
- Tema:
- Rectas
Dos rectas en un plano pueden tener dos posiciones relativas: Son rectas paralelas o son rectas secantes.
Un caso particular de rectas paralelas son las rectas coincidentes mientras que un caso particular de rectas secantes son las rectas perpendiculares.
Ángulos formados entre dos rectas secantes
Dos rectas son secantes cuando se intersecan o se cruzan en un solo punto.
Cuando dos rectas o segmentos de rectas se intersecan en un punto, se forman 4 ángulos: , , y como se muestra en el applet que sigue..
Cada uno de los cuatro ángulos es suplementario con cualquiera de los dos consecutivos a él:
es suplementario con y con : y
es suplementario con y con : y
es suplementario con y con : y
es suplementario con y con : y
Si se conoce la medida de uno de los 4 ángulos, fácilmente se puede obtener la medida de los otros tres. Téngase en cuenta que los ángulos y son ángulos opuestos por el vértice, así como los ángulos y . Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida, es decir, son congruentes.
Ejemplo: Si se puede encontrar que:
por ser opuesto por el vértice con .
por ser suplementario con y con
Ángulo entre dos rectas
Ángulo entre dos rectas es el ángulo menor de los 4 que se forman cuando dos rectas o semirectas se cruzan en un punto.
Para calcular la medida del ángulo entre dos rectas se utiliza la fórmula donde m1 y m2 son las pendientes de las dos rectas.
Analicemos el siguiente ejemplo: Las ecuaciones de dos rectas son,
R1: y = -4x + 3 m1 = -4
R2: y = 2x - 1 m2 = 2
Una segunda forma de hallar el ángulo entre las dos rectas consiste en calcular el ángulo de inclinación de cada recta y hallar su diferencia,
pero el ángulo de inclinación debe ser positivo:
Por lo tanto,
Rectas paralelas y rectas secantes
En los dos applets siguientes se puede comprobar que:
1. Dos rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente, . Esto significa que las dos rectas tienen igual ángulo de inclinación, . También se tiene que si dos rectas tienen igual ángulo de inclinación, entonces, las dos rectas son paralelas. Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común
Ejemplo:
2. Dos rectas son secantes cuando sus pendientes son diferentes, , es decir, que tienen diferente ángulo de inclinación.
Dos rectas secantes tienen un sólo punto en común y corresponde a la solución del sistema lineal 2 x 2 (dos ecuaciones lineales con dos variables).
3. Dos rectas son coincidentes cuando todos los puntos son comunes a las dos. Esto sucede cuando las dos rectas tienen igual ecuación normal o igual ecuación simétrica o también, cuando los coeficientes de las ecuaciones generales son proporcionales,
Ejemplo de rectas coincidentes definidas por la ecuación general:
La ecuación normal de las dos rectas es una sola:
4. Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a -1, . Rectas perpendiculares son rectas secantes que se intersecan formando 4 ángulos rectos.
De la fórmula se deduce que, y : la pendiente de la primera equivale al opuesto (inverso aditivo) del recíproco (inverso multiplicativo) de la pendiente de la segunda.
Ejemplo: La recta R1 tiene por ecuación . Por lo tanto, la pendiente de una recta perpendicular a R1 es . Para obtener la ecuación de esa perpendicular se debe dar otro punto pero todas las perpendiculares a esta R1 tendrán una ecuación de la forma .
Para analizar ...
Se tiene la ecuación general de 6 rectas:
Calcular:
1. Pendiente y ángulo de inclinación de cada recta.
2. Ángulo entre cada dos rectas y determinar la posición relativa para cada pareja de rectas.
Otro applet de rectas paralelas y perpendiculares