Prefacio



Personalmente considero que mucha más gente necesita álgebra lineal que cálculo. ¡Isaac Newton podría no estar de acuerdo! Sin embargo, él no está enseñando matemáticas en el siglo XXI (y quizá no fue un gran profesor, aunque le otorgaremos el beneficio de la duda). Ciertamente, las leyes de la Física se expresan bien mediante ecuaciones diferenciales. Newton requirió del cálculo, lo cual está bien. Pero el alcance de la ciencia, la ingeniería y la administración (así como de la vida) actualmente es mucho más grande, y el álgebra lineal se ha desplazado a un sitio central. Este curso empieza con dos vectores y que apuntan en direcciones distintas. El paso clave es tomar sus combinaciones lineales. Se multiplica para obtener 3 y 4, y se suma para obtener una combinación particular 3 + 4. Este nuevo vector está en el mismo plano que y . Cuando se toman todas las combinaciones, se está llenando todo el plano. Si y se dibujan en esta página, sus combinaciones c + d llenan la página (y más allá), pero no salen de la página. Miremos:

  • Mueva los deslizadores c y d para observar diferentes combinaciones lineales de los vectores y
  • Use los botones para activar, desactivar y borrar el rastro del vector combinación (c + d)
En el lenguaje de las ecuaciones lineales,c + d puede resolverse exactamente cuando el vector está en el mismo plano que . Matrices Se avanzará un poco más para convertir combinaciones de vectores tridimensionales. Si los vectores son y , se escriben en una matriz columna:

Para encontrar combinaciones de estas columnas, la matriz se "multiplica" por un vector Combinaciones lineales cv+dw:



Estas combinaciones llenan un espacio vectorial, denominado espacio columna de la matriz. (Para estas dos columnas, dicho espacio es un plano.) Para decidir si está en ese plano, se cuenta con tres componentes para lograrlo. Así, hay que resolver tres ecuaciones:

Se deja que el lector las resuelva. El vector está en el plano de v y w. Si el 7 se cambia por cualquier otro número, entonces no está en el plano; de hecho, no es ninguna combinación de v y w, por lo que las tres ecuaciones no tienen solución. La interacción de las columnas y los renglones constituye el núcleo del álgebra lineal. No es totalmente fácil comprenderlo, aunque tampoco es tan difícil. A continuación se enumeran cuatro de los conceptos más importantes: 1. El espacio columna (todas las combinaciones de las columnas). 2. El espacio renglón (todas las combinaciones de los renglones). 3. El rango (el número de columnas independientes) (o renglones). 4. Eliminación (la forma idónea para encontrar el rango de una matriz). Y aquí me detengo para permitirle iniciar el curso.