Normalverteilung
Bei einer Binomialverteilung können die Zufallsgrößen nur bestimmte Werte (X = 0; 1; 2;…) annehmen, solche Zufallsgrößen nennt man diskret.
Zufallsgrößen, die alle Werte aus einem bestimmten Intervall annehmen können, nennt man stetig.
Die Normalverteilung (auch Gauß-Verteilung) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der sich
zufällige Abweichungen von Normgrößen (z.B. die Servierzeit, Gewicht von Hühnereiern) oder
Durchschnittswerten (Körpergrößen) beschreiben lassen. Auch die Wahrscheinlichkeiten von
Messfehlern, die auf Zufällen beruhen, ergeben häufig eine Normalverteilung.
Außerdem können Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße mit der Normalverteilung angenähert werden. Dies ergibt sich nicht nur aus den Überlegungen aus Nr. 2, sondern besagt auch der Satz von de Moivre-Laplace (s. unten). Die Sigmaregeln können so begründet werden.
Die Normalverteilung kann mithilfe einer Glockenkurve (Gauß’sche Glockenkurve) beschrieben werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte einer Zufallsgröße in einem bestimmten Intervall liegen, kann mithilfe der Fläche unter der Glockenkurve auf diesem Intervall bestimmt werden.
Für einen singulären (Einzel-) Wert degeneriert diese Fläche zu einer Fläche mit dem Inhalt Null, somit ist
die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße einen singulären (Einzel-) Wert annimmt stets Null.
Fläche unter der Glockenkurve
Satz von de Moivre-Laplace
Für binomialverteilte Zufallsgrößen X mit und gilt:
a) und
b) .
Eine Funktionsgleichung der Glockenkurve wird mit . Was genau ist, werden wir noch rausfinden.