A circunferência de nove pontos e a reta de Simson-Wallace

Se ABC é um triângulo inscrito em uma circunferência e os pontos P e Q são as extremidades de um diâmetro dessa circunferência, então as retas de Simson-Wallace com polos P (reta azul) e Q (reta vermelha) são perpendiculares e se intersectam na circunferência de nove pontos do triângulo ABC. Roteiro de investigação 1. Abra um novo arquivo no GeoGebra e escolha na barra de ferramentas a opção "CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS".

2. Com a ferramenta "POLÍGONO", desenhe um triângulo usando os três pontos A, B e C que definem a circunferência. 3. Em seguida, selecione o ícone "PONTO SOBRE UM OBJETO" e marque um ponto P qualquer na circunferência. 4. A partir do ponto P trace, com a ferramenta "RETA PERPENDICULAR", retas perpendiculares aos lados do triângulo inscrito na circunferência e marque os pontos E, F e G de intersecção entre essas perpendiculares e os lados do triângulo com "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS". 5. Caso necessário, prolongue os lados do triângulo ABC usando a ferramenta "RETA". 6. Usando o ícone "RETA", trace a reta s que passa por E, F e G. A reta s é a reta de Simson-Wallace de polo P em relação ao triângulo ABC. 7. Para um melhor efeito visual, clique com o botão direito do mouse sobre todas as construções auxiliares, selecione a opção "EXIBIR OBJETO" e oculte, mantendo apenas o triângulo ABC, a reta s de Simson-Wallace de polo P e a circunferência que circunscreve o triângulo ABC. 8. Com a ferramenta "PONTO MÉDIO OU CENTRO", determine o centro O da circunferência que circunscreve o triângulo ABC. 9. Trace com a ferramenta "RETA" a reta OP e marque, usando "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS", o ponto Q de intersecção com a circunferência circunscrita ao triângulo ABC. 10. A partir do ponto Q, repita os passos 4, 5, 6 e 7, definindo assim a reta t de Simson-Wallace com polo Q. 11. Marque com a ferramenta "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS" o ponto W de intersecção entre as retas s e t. 12. Dos vértices A, B e C do triângulo, trace com a ferramenta "RETA PERPENDICULAR" a perpendicular ao lado oposto, marque os pontos de intersecção X, Y, Z das retas perpendiculares com o triângulo ABC e, com a ferramenta "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS", estabeleça o ortocentro H do triângulo ABC. 13. Com a ferramenta "PONTO MÉDIO OU CENTRO", defina os pontos médios M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ e M₆, respectivamente dos segmentos AH, BH, CH, AB, BC e AC. 14. Na barra de ferramentas escolha o ícone "CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS" e marque os pontos X, Y e Z, definindo assim a circunferência de nove pontos ( X, Y, Z, M₁, M₂, M₃, M₄, M₅, M₆ ) do triângulo ABC. 15. Usando a opção "RELAÇÃO ENTRE DOIS OBJETOS", constate que o ponto W de intersecção entre as retas s e t de Simson-Wallace pertence à circunferência de nove pontos do triângulo ABC. 16. Para finalizar, selecione com o botão direito do mouse o ponto P, polo da reta s, habilite a opção "ANIMAR" e observe o movimento das retas de Simson-Wallace s e t.