El gradiente y la dirección de máximo crecimiento
En la sección anterior vimos que
,
donde es un vector unitario.
Observa algo importante:
Las cantidades y
contienen toda la información necesaria
para calcular la tasa de cambio en cualquier dirección.
Agrupamos esta información en un solo vector:
,
llamado gradiente de en .
Selecciona una dos las dos funciones y mueve el punto y elige una posición para este.
1) Calcula algebraicamente el gradiente .
2) Normaliza ese vector.
3) En el applet, mueve el ángulo de modo que el vector
quede en esa dirección.
a) ¿Qué valor toma la derivada direccional ?
b) Rota el ángulo libremente y anota las diferentes derivadas direccionales en .
¿Cómo se compara con las derivadas direccionales que anotaste?
4) Ahora repite el proceso con el vector normalizado.
c) ¿Cómo se compara la derivada direccional de este vector con las otras direcciones?
Relación del gradiente y máxima tasa de cambio
En la dirección del gradiente
se obtiene la mayor tasa de cambio.
En la dirección opuesta
se obtiene la menor tasa de cambio.
Además:
• La tasa máxima es .
• La tasa mínima es .
El gradiente determina tanto
la dirección como la magnitud
del cambio extremo.
Justificación matemática
Recordemos que
.
Si es unitario, entonces
,
donde es el ángulo entre y .
Como , se obtiene:
.
El valor máximo se alcanza cuando
apunta en la misma dirección que .
Interpretación intuitiva.
Moverse en una dirección unitaria
significa descomponer ese movimiento
en dos componentes:
• cuánto avanzamos en x,
• cuánto avanzamos en y.
El gradiente contiene precisamente
las tasas de cambio en esas dos direcciones básicas.
Cuando u coincide con la dirección del gradiente,
ambas contribuciones (la de x y la de y)
actúan en perfecta sincronía,
sumándose completamente.
Si nos inclinamos hacia otra dirección,
una parte del movimiento deja de contribuir
al crecimiento máximo.
En otras palabras:
El gradiente es la única dirección
en la que todas las variaciones parciales
empujan conjuntamente con máxima eficacia.
Resumen
El gradiente:
• Organiza la información direccional.
• Indica la dirección de máximo crecimiento.
• Su norma indica la tasa máxima de cambio.
En la siguiente sección estudiaremos
otra propiedad geométrica fundamental del gradiente.