Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Voronoi Paintings.
Dejemos de considerar los sitios como objetos puntuales. Ahora son formas planas aisladas. ¿Cuál será el recorrido equivalente al diagrama de Voronoi, es decir, dónde estarán los puntos del plano que equidistan de los sitios más cercanos a ellos?
Para empezar, consideremos solo dos sitios circulares. Si ambos círculos tienen el mismo radio, la mediatriz de sus centros resuelve nuevamente la cuestión. Pero si tienen distinto radio, la mediatriz se curvará en una rama de hipérbola, la más próxima al círculo menor (Figura 2).
Figura 2: Rama de hipérbola equidistante de dos círculos
En general, la línea resultante dependerá de la forma que tenga el borde de cada sitio. Si nos limitamos a bordes rectos o circulares (podemos considerar los puntos extremos de un segmento, recto o curvo, como círculos de radio cero), obtenemos tres tipos posibles de recorridos equidistantes:
- Entre círculos (o puntos): mediatrices e hipérbolas.
- Entre rectas: bisectrices.
- Entre rectas y círculos (o puntos): parábolas.
Sea cual sea el caso, llamaremos curva bisectriz al recorrido resultante, que se compondrá, por lo tanto, de segmentos rectos (mediatrices y bisectrices) y arcos parabólicos e hiperbólicos. Esta curva bisectriz, aplicada a una colección de sitios, crea un diagrama que seguiremos denominando, sin temor a confusión, diagrama de Voronoi (Figura 3), ya que lo podemos interpretar como una generalización del diagrama de Voronoi generado por sitios puntuales (véase [1] para un trabajo de investigación reciente en este contexto).
Figura 3: Diagrama de Voronoi de tres formas planas
Observemos que, en ocasiones, no todos los puntos del borde de una forma intervienen en la generación de las curvas bisectrices que conforman el diagrama de Voronoi. Por ejemplo, la posición exacta del vértice situado más a la derecha en el pentágono de la Figura 3 no afecta al diagrama. Llamaremos borde sensible de una forma a la parte del borde que realmente es necesaria para generar el diagrama. Hemos optado por el calificativo de sensible porque esta característica no depende solo de la propia forma, sino también de la distribución de las demás formas que la rodean.
Figura 2: Rama de hipérbola equidistante de dos círculos
Figura 3: Diagrama de Voronoi de tres formas planas