Mittenpunkt o punto intermedio
El Mittenpunkt, o Punto Intermedio, M en la figura, es el Punto simediano o Punto de Lemoine de los excentros, primeramente descrito por Nagel en 1836. M es el punto X(9) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos de Clark Kimberling. Se ve fácilmente que es el punto de concurrencia de las rectas que unen los excentros IA, IB e IC con los puntos medios D, E y F de los lados correspondientes. Las cevianas de estos puntos medios concurren en el Punto de Nagel del △ABC:
En efecto, el △ABC es el triángulo órtico del △IAIBIC, por lo que este último triángulo es semejante a los △IACB, △IBAC e △ICBA. En particular, ∠BCIA = ∠IAICIB e IABC = ∠ICIBIA, por lo que los lados ICIB y BA son antiparalelos respecto de los IAIC e IAIB, y la mediana del △IABC es la simediana del △IAICIB, correspondientes ambas al vértice IA. Por lo tanto, el punto D está en la simediana, e igualmente para los otros vértices (qed).
M esta alineado con el baricentro G y el Punto de Gergonne Ge, siendo MG = -½GGe. Es decir M es el Punto de Gergonne del triángulo medial.
También está alineado con el incentro I y el Punto de Lemoine L , así como con el ortocentro H y el Punto de Spieker S, incentro del triángulo medial.
Pero además, M es el centro de la elipse inscrita de Mandart, μ en la figura, que es tangente a los lados del △ABC en los puntos de contacto de las circunferencias exinscritas. La elipse λ circunscrita al △ABC y que tiene centro en M, además es confocal con μ e inscrita en el triángulo de los exincentros. El △ABC esta entonces inscrito en λ y circunscrito a μ, por lo que por el Porisma de Poncelet, partiendo de cualquier otro punto X de λ y trazando las tangentes a μ, que la cortarán nuevamente en Y y Z, el triángulo △XYZ también esta circunscrito a μ. Esto ocurre siempre con cualquier polígono inscrito en una cónica y circunscrito a otro, por el citado Porisma de Poncelet. Lo extraordinario de este caso, es que además estos triángulos son órbitas triángulares de reflexión en la elipse λ, de manera que una bola de billar lanzado desde cualquier punto de su perímetro con una trayectoria tangente a μ, volvería al punto de partida después de dos reflexiones y continuaría repitiendo la misma órbita triangular indefinidamente. Esto es debido a que los ángulos entre las tangentes a una elipse y las rectas que los unen con los focos son iguales , respecto a la elipse μ, y a que los ángulos formados por los radios vectores y la tangente también son iguales, referido a la elipse λ, por la propiedad focal de la elipse. Al ser ambas elipses confocales, los lados del △XYZ forman ángulos iguales con las tangentes a λ en sus vértices, y una bola de billar incidente según uno de sus lados se reflejará en λ a lo largo del lado consecutivo.
Respecto a esto último, son muy interesantes los enlaces:
Invariants of N-Periodics in an Elliptic Billiard
Elliptic Billiard: Loci of Triangular Centers
También pueden explorarse las órbitas en las elipses con este otro applet: Reflexiones repetidas en la elipse.
Christian Heinrich von Nagel (Stuttgart 1803 - Ulm 1882) fue un matemático alemán, que utilizaba métodos de demostración geométricos puramente elementales.
H. Mandart fue un matemático belga del siglo XIX conocido por sus contribuciones a la geometría del triángulo.