Moti retrogradi
Introduzione
Fino dall'antichità nel cielo notturno sono stati individuati due tipi di corpi celesti: le "stelle fisse" e le "stelle vagabonde", o pianeti.
Per gli antichi, le stelle fisse erano "incastonate" in un'enorme sfera con centro nel centro della Terra. Questo spiegava facilmente le orbite circolari che le "stelle fisse" sembrano compiere attorno alla Stella Polare.
I pianeti si muovono sullo sfondo delle stelle fisse in modo più difficile da spiegare. Essi infatti non sembrano muoversi su circonferenze, ma tracciano orbite più complicate, caratterizzate da moti retrogradi (che tornano su se stessi).
Premendo il pulsante "play" nella costruzione qui sotto puoi vedere una rappresentazione semplificata del moto di un pianeta (arancione) sullo sfondo delle stelle fisse (bianche).
Per semplicità assumiamo che il punto arancione sulla volta celeste segni la posizione (apparente) che il pianeta assume nel corso di molte notti successive, alla stessa ora.
Apollonio di Perga (240 AC - 190 AC) si rese conto che la posizione apparente del pianeta poteva essere spiegata almeno qualitativamente supponendo che fosse in realtà una "proiezione" della reale posizione del pianeta. Per spiegare il fatto che tale proiezione "torna su sè stessa" era però necessario che il pianeta si muovesse attorno alla Terra su un'orbita apparentemente piuttosto complicata, detta epicicloide.
Sbarrando le caselle "pianeta" e "epicicloide" la costruzione visualizzerà come il moto complicato del pianeta possa spiegare il moto retrogrado della sua posizione. In effetti, percorrendo la sua orbita, anche il pianeta stesso compie un moto retrogrado, evidenziato dai "riccioli" dell'epicicloide.
Come detto, questo moto del pianeta appare piuttosto complicato, ma può essere spiegato geometricamente in modo relativamente semplice. Il pianeta compie un moto circolare uniforme su una circonferenza detta epiciclo, il cui centro a sua volta compie un moto circolare uniforme su una circonferenza più grande centrata nella Terra, detta deferente.
Sbarrando le caselle "epiciclo" e "deferente" puoi osservare come il moto sull'epicicloide sia il risultato della composizione di due moti circolari uniformi (che piacevano molto agli antichi greci).
L'astronomo greco Ipparco di Nicea (190 AC - 120 AC) sviluppò ulteriormente il sistema degli epicicli ideato da Apollonio di Perga.
Il matematico e astronomo greco (o egizio ellenizzato) Claudio Tolomeo (85 DC - 165 DC) si accorse che, essendo basato su moti circolari uniformi, il modello dei deferenti/epicicli di Apollonio e Ipparco non era in grado di prevedere le variazioni che si potevano osservare nella velocità dei moti retrogradi dei pianeti.
Egli introdusse quindi delle modifiche al modello. Innanzitutto ipotizzò che il deferente su cui si muove il centro dell'epiciclo non fosse centrato nel centro della Terra, ma in un punto ad una certa distanza da essa, detto eccentrico. Ipotizzò inoltre che il centro dell'epiciclo si muovesse di moto circolare uniforme non attorno all'eccentrico, bensì attorno ad un altro punto, detto equante, simmetrico del centro della terra rispetto all'eccentrico.
La seconda costruzione mostra una versione semplificata del modello di Tolomeo. Sbarrando la casella "deferente" si nota come questo cerchio non sia centrato nella Terra, ma in un punto detto eccentrico.
Sbarrando la casella "epiciclo" si può vedere che il centro di tale cerchio è l'intersezione tra il deferente e una semiretta che si muove di moto circolare uniforme attorno all'equante, simmetrico del centro della Terra rispetto all'eccentrico. Questo significa che il centro dell'epiciclo si muove di moto circolare non uniforme attorno all'eccentrico.
Sbarrando le caselle "pianeta" e "epicicloide" si può visualizzare l'orbita del pianeta, che risulta deformata rispetto all'epicicloide del modello più semplice.
Il modello di Tolomeo, detto Tolemaico, spiega in maniera straordinariamente accurata (per i tempi) le variazioni di velocità osservate nel moto retrogrado del pianeta. Tale modello è rimasto in uso per svariati secoli, fino ai tempi di Copernico (XV secolo) e Keplero (XVI secolo).
Nonostante la sua notevole accuratezza, il modello Tolemaico risulta piuttosto complicato. Inoltre è difficile dare una spiegazione del moto del pianeta attorno all'epiciclo, il cui centro si muove a sua volta.
Il modello eliocentrico (con centro nel Sole) proposto da Copernico riesce a spiegare in maniera decisamente più semplice il moto retrogrado della posizione apparente di alcuni pianeti, come mostrato dalla costruzione qui sotto.
Tale moto apparente è dovuto al fatto che sia la Terra che il pianeta compiono moti circolari uniformi attorno al Sole, ma lo fanno con velocità angolari differenti.
In realtà il modello di Copernico era più complicato di quello molto schematico illustrato nella precedente costruzione. Copernico era ancora legato all'idea delle "sfere celesti", per cui il suo modello era basato su orbite circolari. Per questo, per poter descrivere le orbite reali, era costretto a fare uso dell'espediente degli epicicli.
Come stabilito successivamente da Keplero, le orbite reali non sono proprio circolari, ma ellittiche.
La costruzione qui sotto mostra come sia possibile riprodurre un'ellisse esatta utilizzando solo un epiciclo il cui centro si muove su un deferente. In questo caso il pianeta ruota sull'epiciclo con un certo periodo, e il centro dell'epiciclo ruota sul deferente con lo stesso periodo, ma in senso contrario.
È possibile far comparire l'orbita ellittica agendo sulla corrispondente casella di controllo.
L'eccentricità dell'ellisse può essere controllata tramite il cursore nella parte bassa dello schermo, o trascinando manualmente il fuoco F (se visibile).
Quando l'eccentricità cambia, cambiano anche i raggi del deferente e dell'epiciclo.
In realtà l'eccentricità della maggior parte delle delle orbite ellittiche nel Sistema Solare è piuttosto piccola. Questo significa che è difficile distinguere l'ellisse da una circonferenza, "a occhio".
Quindi, almeno in prima approssimazione, una circonferenza potrebbe fornire una buona descrizione della traiettoria del pianeta. Il "problema" sta in un'altra caratteristica del moto orbitale, ovvero la legge oraria. Come stabilito da Keplero, la velocità con cui il pianeta si muove su un'orbita non è in modulo costante, come in un moto circolare uniforme.
Deferenti ed epicicli possono essere utilizzati per rendere conto di queste variazioni di velocità. Quanti più epicicli "sovrapposti" si considerano, tanto più precisa risulterà la descrizione.
In questo modo, un moto apparentemente "imperfetto" viene descritto come composizione di tanti moti "perfetti" (circolari e uniformi).
Mostrare qui una costruzione che tiene conto delle variazioni di velocità in un'orbita reale sarebbe poco significativo. Poiché le ellissi sono quasi delle circonferenze, le variazioni di velocità sono piccole. Questo però non significa che siano irrilevanti. Infatti, con il passare del tempo, il modello "errato" (velocità uniforme) si discosterebbe sempre di più da quello reale, un po' come un orologio che va "avanti" o "indietro".
La costruzione qui sotto illustra la "potenza" di una descrizione basata su molti epicicli mostrando che solo 4 di queste circonferenze permettono di descrivere "orbite" anche abbastanza bizzarre.
In tutti e tre casi proposti il pianeta (azzurro) traccia la sua orbita ruotando sull'epiciclo arancione. Il centro di quest'ultimo ruota sul deferente blu, il cui centro ruota sul deferente verde, il cui centro ruota sul deferente rosso, il cui centro è fisso.
Il selettore a discesa "aggiusta" i raggi di deferenti e apicicli e i relativi periodi di rotazione in modo che il pianeta tracci un'orbita particolare (azzurra).
Per scoprire la forma dell'orbita, usa il cursore che controlla lo zoom.
Le due caselle "orbita" e "epicicli" permettono di visualizzare/nascondere i corrispondenti elementi.
Conclusione
I modelli geocentrici degli antichi, basati su sfere celesti perfette e orbite circolari e uniformi, si sono rivelati incompleti e/o insoddisfacenti.
Questo tuttavia non significa che gli antichi fossero ingenui. Al contrario, sono stati estremamente ingegnosi. Calcolando con precisione i raggi e i periodi dei vari deferenti, sono stati in grado di fare predizioni abbastanza accurate sui moti dei corpi celesti.
Si può osservare inoltre che la descrizione del moto dipende dal punto di riferimento, e considerare la Terra come punto di riferimento non è di per sé sbagliato.
Questo punto di vista però costringe a modelli complicati e poco "fisici". I pianeti sono "incastonati" nelle sfere celesti, che sono oggetti solidi che si muovono con un "meccanismo ad orologeria".
Keplero, con le sue tre leggi, ha fornito una descrizione più accurata del moto dei pianeti.
Newton infine ha dato una spiegazione del moto basata sulla forza peso, ovvero la stessa forza che sulla Terra "fa cadere" gli oggetti verso il centro del pianeta.
Questo punto di vista ha eliminato la necessità di un meccanismo ad orologeria con "ingranaggi" complicati, semplificando di molto il modello.
Anche l'idea di Newton di un'azione a distanza tra oggetti dotati di massa è stata successivamente superata con l'introduzione del concetto di campo gravitazionale, ovvero una proprietà che ciascun oggetto dotato di massa conferisce a tutti i punti dello spazio circostante.
È infine interessante notare che l'espediente dei deferenti e degli epicicli è in qualche modo una versione arcaica e "artigianale" di uno strumento matematico estremamente potente, chiamato "trasformata di Fourier".
Questo strumento ha numerose applicazioni pratiche in diversi campi della scienza e della tecnologia, alcune delle quali si incontrano nella vita quotidiana
- sintetizzatori musicali, che riescono a riprodurre il suono di qualunque strumento;
- compressione JPEG delle immagini digitali che, nei primi tempi dell'era di internet ha permesso la pubblicazione di siti illustrati;
- effetti nei programmi di grafica/fotoritocco (sfuocatura, messa a fuoco, riduzione del "rumore")
- compressione MP3/AAC dei file audio, che ha spianato la strada allo streaming online dei contenuti musicali;
- cancellazione attiva del rumore in auricolari e cuffie per l'ascolto della musica.