Sección 1.3 - Puntos de interés (Ejercicios)
1. El circuncentro y el ortocentro de un triángulo obtuso yace fuera del triángulo
Asumamos que el ortocentro está dentro de . Entonces,
(ya que es un ángulo dentro de un triángulo)
Esto implicaría que , lo que contradice que el triángulo sea obtuso.
Por lo tanto, está fuera del triángulo. Podemos observar esto en la siguiente figura.
Ahora, observemos la siguiente figura.
El ortocentro de es el circuncentro de
(obtusángulo).
Sabemos que el circuncentro está fuera de y por tanto fuera de .
2. Encuentre la razón entre el área de un triángulo y otro triángulo que tiene lados con mismas longitudes de las medianas del original.
Observemos la figura
Observemos a . Este triángulo es una versión "reducida" del triángulo de medianas (2/3). Por lo tanto, tenemos:
Entonces, lo cual es igual a
3. Cualquier triángulo que tenga dos medianas iguales es isósceles
Observemos la siguiente figura
Como las medianas se trisecan, tenemos que por LAL. Por lo tanto, y (por el Teorema de Thales)
4. Cualquier triángulo con dos alturas iguales es isósceles
Observemos la siguiente figura
Tenemos que . Además,
.
Notemos que ya que son opuestos por el vértice. Entonces,
por AA. Por lo tanto, y por tanto (ALA) . Entonces el triángulo será isósceles.
5. Use los teoremas 1.22 y 1.33 para obtener una prueba del teorema 1.34
Teorema 1.22: Si dos cevianas AX, BY, CZ satisfacen entonces son concurrentes.
Teorema 1.33: Cada bisector de ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales en longitud a los lados adyacentes.
Teorema 1.34: Los bisectores internos de tres ángulos de un triángulo son concurrentes.
Demostración: Observemos la siguiente figura
Por el Teorema 1.33, sabemos que y .
Multiplicando estas proporciones, obtenemos:
y por el Teorema 1.2, tenemos que AL, BM & CN son concurrentes.
6. Encuentre la longitud de la mediana AA' en términos de a,b,c. Pista: Utilice el Teorema de Stewart
Observemos la figura
Usando el Teorema de Stewart:
donde y , porque AA' es mediana.
Luego,
7.
El cuadrado de la medida del bisector del ángulo AL es:
.
Usando el Teorema de Stewart, obtenemos:
(1)
Calculemos los valores de m y n en términos de los lados. Observamos en la figura que:
o o o . Similarmente, .
Sustituyendo los valores de m y n en (1) obtenemos:
8. Encuentre la longitud del bisector interno de un triángulo rectángulo con lados 3, 4, y 5.
Utilizando la fórmula previa, tenemos:
9. El producto de 2 lados de un triángulo es igual al producto del circundiámetro y la altura en el tercer lado.
El circundiámetro está dado por:
El área del triángulo es y . Ahora, y