Matrix Drehung um AchsenGerade durch Ursprung R³

Konstruktion der Drehung und Ableitung der Drehmatrix

Algebra Fenster: Achsenvektor v Drehwinkel w Drehe um Achse v mit Winkel w Drehkreismittelpunkt e_k: , k=x,y,z Drehkreismittelpunkt P: M_p:=v ((v P) / v²) Die Bildvektoren e' bilden die Drehmatrix Wickipedia: v= = (n1,n2,n3). R(w) stellt die ermittelten e' dar und R_w stellt das Ergebnis mittels der (wikipedia) Formel dar:
Achsendrehung 360°
Achsendrehung 360°

DrehungAchsenGeradeDrehKreis.ggb

o=x,y,z, e_o Vektor Standardbasis, Achsenvektor v=(n1,n2,n3), Drehwinkel t (w) E_o Ebene mit Richtungsvektor der Achsengeraden v als Normalenvektor durch e_o E_o: v((x,y,z)-e_o)=0 Drehkreismittelpunkt D_o: Schnittpunkt Achsengerade t v E_o für v (t v - e_o)=0 ===> t= v e_o/ v^2 ===> D_o=(v e_o/ v^2) v D_o=(n1,n2,n3) e_o/(n1,n2,n3)^2 * (n1,n2,n3) Konstruiere einen Vektor (x,y,z)=u (e_o-D_o) (e_o - D_o) (x,y,z)=0 für einen Kreis in Ebene E_o (u E_o) (n1,n2,n3) ((x, y, z) - D_o), mit dem Radius (e_o-D_o) ((x,y,z)-D_o)^2=(e_o - D_o)^2 } Löse GLS: Drehkreis: D_x(n1,n2,n3) + ((u_x(n1,n2,n3)-D_x(n1,n2,n3)) sin(t)+ (e_x-D_x(n1,n2,n3))cos(t)) D_y(n1,n2,n3) + ((u_y(n1,n2,n3)-D_y(n1,n2,n3)) sin(t)+ (e_y-D_y(n1,n2,n3))cos(t)) D_z(n1,n2,n3) + ((u_z(n1,n2,n3)-D_z(n1,n2,n3)) sin(t)+ (e_z-D_z(n1,n2,n3))cos(t)) für n12+n22+n32 = 1 ergibt {e'_x, e'_y, e'_z} = R(,n1,n2,n3)

Formula

Wickipedia: R(a,n1,n2,n3) {{n1^2*(1 - cos(a)) + cos(a), n1*n2*(1 - cos(a)) - n3*sin(a), n1*n3*(1 - cos(a)) + n2*sin(a)}, {n2*n1*(1 - cos(a)) + n3*sin(a), n2^2*(1 - cos(a)) + cos(a), n2*n3*(1 - cos(a)) - n1*sin(a)}, {n3*n1*(1 - cos(a)) - n2*sin(a), n3*n2*(1 - cos(a)) + n1*sin(a), n3^2*(1 - cos(a)) + cos(a)}} $7: Formelkonstruktor D_x(n1, n2, n3) + (u_x(n1, n2, n3) - D_x(n1, n2, n3)) sin(t) + (e_x - D_x(n1, n2, n3)) cos(t) Drehmatrix R für Achsenvektor v=(n1,n2,n3) und Winkel t 
(n1^2*(1-cos(t))+ (n1^2+n2^2+n3^2)*cos(t)) / (n1^2+n2^2+n3^2)((n1*n2*(1-cos(t))-n3*sin(t)* sqrt(n1^2+n2^2+n3^2)) / (n1^2+n2^2+n3^2)(n1*n3*(1-cos(t))+n2*sin(t)* sqrt(n1^2+n2^2+n3^2)) / (n1^2+n2^2+n3^2)
( n1*n2*(1- cos(t))+n3*sin(t)* sqrt(n1^2+n2^2+n3^2)) / (n1^2+n2^2+n3^2)(n2^2*(1-cos(t))+ (n1^2+n2^2+n3^2)*cos(t)) / (n1^2+n2^2+n3^2)(n2*n3*(1-cos(t))-n1*sin(t)* sqrt(n1^2+n2^2+n3^2)) / (n1^2+ n2^2+n3^2)
(n1*n3*(1- cos(t))-n2*sin(t)* sqrt(n1^2+n2^2+n3^2) ) / (n1^2+n2^2+n3^2) (n2*n3*(1-cos(t))+n1*sin(t)* sqrt(n1^2+n2^2+n3^2)) / (n1^2+n2^2+n3^2)(n3^2*(1-cos(t)))+ (n1^2+n2^2+n3^2)*cos(t) / (n1^2+n2^2+n3^2)
n1^2+n2^2+n3^2=1
(n1^2*(1-cos(t))+cos(t)) ((n1*n2*(1-cos(t))-n3*sin(t)) (n1*n3*(1-cos(t))+n2*sin(t))
( n1*n2*(1- cos(t))+n3*sin(t)) (n2^2*(1-cos(t))+cos(t)) (n2*n3*(1-cos(t))-n1*sin(t))
(n1*n3*(1- cos(t))-n2*sin(t)) (n2*n3*(1-cos(t))+n1*sin(t)) (n3^2*(1-cos(t)))+cos(t)


Matrizen für Drehungen und Spiegelungen in GeoGebra CAS

Exkurs (vollständigkeitshalber) Drehungen um Koordinatenachsen Do(χ,a):=Take({{ (1, cos(a),cos(a))χ, (0,0,-sin(a))χ ,(0, sin(a), 0)χ}, {(0,0, sin(a))χ, ( cos(a) ,1, cos(a) )χ, (-sin(a),0,0)χ}, {(0,-sin(a),0)χ, (sin(a),0,0)χ, (cos(a) , cos(a) ,1)χ }} ,1,3) Dz(a)=Do((0,0,1),a) Spiegelung n=(n1,n2,n3) normierter Achsenvektor (Ursprungsgerade g(t):=t v, v=(1,1,1)/sqrt(3), ) S_n(n1,n2,n3):=Take({{2n1² - 1, 2n1 n2 , 2n1 n3 }, {2n1 n2 , 2n2² - 1, 2n2 n3 }, {2n1 n3 , 2n2 n3 , 2n3² - 1}},1,3) S_v:=S_n(x(v),y(v),z(v)) ov Ortsvektor, rv Richtungsvektor der Spiegel-Geraden g GS(po,oo,ro):=2 (oo+(Dot(po-oo,ro))/(Dot(ro,ro))*ro)-po Ursprungs-Ebene Normalenvektor no=(n1,n2,n3) SP(no,vo):=vo-2Dot(vo,no)/Dot(no,no)*no S_N(n1,n2,n3):=Take({{((-n1^(2)) + n2^(2) + n3^(2)) / (n1^(2) + n2^(2) + n3^(2)), (((-2) * n1) * n2 / (n1^(2) + n2^(2) + n3^(2))), (((-2) * n1) * n3 / (n1^(2) + n3^(2) + n2^(2)))}, {(((-2) * n2) * n1 / (n2^(2) + n1^(2) + n3^(2))), ((-n2^(2)) + n1^(2) + n3^(2)) / (n2^(2) + n1^(2) + n3^(2)), (((-2) * n2) * n3 / (n2^(2) + n3^(2) + n1^(2)))}, {(((-2) * n3) * n1 / (n3^(2) + n1^(2) + n2^(2))), (((-2) * n3) * n2 / (n3^(2) + n2^(2) + n1^(2))), ((-n3^(2)) + n1^(2) + n2^(2)) / (n3^(2) + n1^(2) + n2^(2))}},1,3) mit Sn:=S_N(x(v),y(v),z(v)) Beliebige Ebene E:=no ((x,y,z)-p)=0, R Urbild, R' Bild d:=no p (Abstand Ebene vom Ursprung) R'=Sn (R-no p) + no p