Homologia - Transformació anamòrfica
- Autor:
- Josep Iglesias
LA TEORIA
Una homologia és una transformació geomètrica homogràfica generada per la projecció des d'un punt O o V i en el qual les dues figures homòlogues, per exemple ABC i A'B'C', són dues seccions d'aquesta radiació.
HOMOLOGIA DIRECTA
La homologia, és com si tinguéssim una piràmide i féssim un tall mitjançant un pla. La intersecció de la piràmide és la figura homòloga de la base i la intersecció entre el pla horitzontal (Base) i el de la secció ens donen una recta, que denominem com a eix d'homologia o "xernera".
L'homologia directa, és quan fem l'abatiment d'aquest pla, cap al costat contrari on tenim la base de la piràmide.
V és el vèrtex o centre d'homologia, des d'aquest punt tracem uns raigs que uneixen sempre els dos punts homòlegs, ex: 1 i 1'.
Si unim les punts d'intersecció entre diferents conjunts de dos segments homòlegs, aquests ens defineixen una recta que s'anomena eix d'homologia. Aquesta eix és la intersecció entre els plans que defineixen els dos polígons homòlegs.
Si utilitzeu els comandaments de l'esquerra, podreu veure que les rectes límit són les que es defineixen al fer la intersecció entre els plans i els plans paral·lels que passen per el centre d'homologia.
HOMOLOGIA DIRECTA
HOMOLOGIA INVERSA
És també una homologia on el pla de secció es situa sobre la base de la piràmide, per tant, normalment les dues figures es superposen.
HOMOLOGIA INVERSA
EXERCICIS D'HOMOLOGIES AMB POLÍGONS
Tot seguit us deixo una sèrie d'activitats d'homologia de diferents polígons.
EXERCICI 1 - TRIANGLE
És una homologia directe d'un triangle.
Les dades inicials que tenim són el vèrtex d'homologia, l'eix d'homologia, una figura i la seva recta límit.
EXERCICI 2 - Transformar un quadrilàter en un quadrat.
És una homologia directe d'un quadrilàter..
Les dades inicials que tenim són el l'eix d'homologia, una figura i la seva recta límit, també sabem que la figura homòloga al quadrilàter és un quadrat.
Per fer aquest exercici hem de tenir en compte que els costats paral·lels coincideixen en un punt de la recta límit i que l'origen d'homologia és un punt de l'arc capaç de l'angle que formen dos costats que sabem l'angle.
EXERCICI 3 - TRIANGLE
És una homologia inversa d'un triangle.
Les dades inicials que tenim són el vèrtex d'homologia (que coincideix amb l'eix), l'eix d'homologia, una figura i un punt homòleg de la figura..
HOMOLOGIA D'UNA CIRCUMFERÈNCIA
Amb aquest document podem modificar les característiques d'una circumferència en el pla inclinat (centre i radi), i en funció de la posició relativa d'aquesta amb la recta límit, veure:
- Si la circumferència està en un costat de la recta límit. En aquest cas la seva homòloga és una el·lipse.
- Si la circumferència és tangent a la recta límit, llavors un punt de la corba és impropi, per tant tindrem una paràbola.
- Si la recta límit és talla en dos punts la circumferència, la cònica que surt és una hipèrbole.
Homologia d'una CIRCUMFERÈNCIA - 2D i 3D
Tot seguit podeu veure un exemple d'exercicis i la resolució dinàmica sobre la homologia de la circumferència.
- Modifiqueu els paràmetres de color vermell per obtenir les diferents còniques i els seus punts impropis.
- Construcció de punts perspectius. Brook Taylor en els New Principles of Linear Perspective (1719)
EXERCICI 4 - CIRCUMFERÈNCIA 1
És una homologia directe d'una circumferència en una el·lipse.
Les dades inicials que tenim són l'origen d'homologia, l'eix d'homologia, una la circumferència i la seva recta límit.
Al ser la circumferència exterior a la RL, la seva figura homòloga serà una el·lipse, ja que tots els punts d'aquesta són punts propis.
Us deixo un vídeo sobre aquest exercici de Pablo Domingo de "10 en dibujo".
EXERCICI 4 - CIRCUMFERÈNCIA 2
És una homologia directe d'una circumferència..
Les dades inicials que tenim són l'origen d'homologia, l'eix d'homologia, una la circumferència i la seva recta límit.
Al ser la circumferència tangent a la seva recta límit, la seva figura homòloga serà una paràbola, ja que no tots els punts d'aquesta són punts propis, sinó que n'hi ha un que és un punt impropi, ja que està a l'infinit.
Us deixo un vídeo sobre aquest exercici de Pablo Domingo de "10 en dibujo".
EXERCICI 4 - CIRCUMFERÈNCIA 3 - HIPÈRBOLE
És una homologia directe d'una circumferència..
Les dades inicials que tenim són l'origen d'homologia, l'eix d'homologia, una la circumferència i la seva recta límit.
Al ser la recta límit tangent a la circumferència, la seva figura homòloga serà una HIPÈRBOLE, ja que té dos punts impropis, la resta de circumferència estaran representades en dos parts, cada una a un costat de la recta límit.