Isometries oposades
- Autor:
- Pedro Bibiloni
Totes les isometries oposades són la composició d'una reflexió o la composició de tres reflexions. Classificarem les isometries oposades --és a dir, caracteritzarem TOTES les isometries oposades-- en base a això.
El primer cas és també el més fàcil, quan m és la composició d'una sola reflexió. En aquest cas, la isometria és, valgui la redundància, una reflexió.
A partir d'ara considarerem que m és la composició de tres reflexions, per les rectes r, s, i t:
Si les tres rectes són paral·leles, m és una reflexió.
Si les tres rectes són concurrents, m també és una reflexió.
Qualsevol altra situació l'acabarem fent equivalent a la següent: quan r és perpendicular a s i a t, aleshores la isometria és una reflexió amb lliscament.
Si r és perpendicular a s, podem reduir-ho al cas anterior.
Si s i t no són paral·leles, de nou ho podem reduir al cas anterior.
Finalment, si r i s no són paral·leles, també ho podem reduir al cas anterior.
I ja hem acabat la demostració, ja que hem considerat tots els casos: si els dos darrers casos són falsos, aleshores r, s i t són totes paral·leles, que és el primer dels casos que hem estudiat.