La base 2
- Auteur :
- Christian Mercat
Différents algorithmes pour comprendre la décomposition en base 2.
Nous sommes habitués à la base 10 mais tout nombre entier naturel peut s'écrire comme une somme de puissances entières de deux. Entrez en E2 une liste de 0 et de 1 et vous obtiendrez le nombre correspondant en F2. De même en E10 mais les chiffres sont interprétés comme d'habitude, c'est-à-dire en commençant par les chiffres les plus significatifs en premier.
Entrez un nombre entre 1 et 31 en A2, la division euclidienne par deux, itérée 5 fois, donne à l'aide du reste, la suite des chiffres en base deux, en commençant par les unités.
Au contraire, en entrant un nombre en A10, vous retranchez successivement les puissances de 2 qui sont inférieures à ce qui reste et obtenez la liste des chiffres dans l'ordre des puissances décroissantes.
C'est la base d'un tour de mathémagie: construisez cinq cartes correspondant aux puissances de deux successives, sur lesquelles vous faites figurer (arrangés dans un ordre aléatoire en un carré de 4x4) les 16 nombres entre 1 et 31 qui ont un 1 dans la décomposition en binaire pour cette puissance de 2. Par exemple 27 qui s'écrit 11011 sera présent sur les cartes 16, 8, 2 et 1 mais pas sur la carte du 4.
À l'aide de ces 5 cartes, vous pouvez faire le tour suivant: demandez à l'assistance de choisir sans vous le dire un nombre entre 1 et 31 puis présentez tour à tour les 5 cartes en demandant de dire si le nombre mystère est présent.
En ajoutant mentalement les puissances de 2 correspondantes (qu'on aura pris soin de mettre dans un endroit stratégique comme un coin), on obtient le nombre mystère. Par exemple la suite oui, oui, non, oui, oui, correspond à au nombre 27.
La composition de ces cartes est calculé dans les colonnes I-M et O-S de deux manières différentes: la première est le calcul du successeur avec report de la retenue. La seconde est une production plus algorithmique (et qui est celle qui apparait dans la classe quand on demande aux élèves d'expliquer la composition des cartes) avec des successions de paquets de 0 et de 1 tous de même longueur (la puissance de deux correspondante).
Vous pouvez présenter le tour à votre classe et laisser les élèves déterminer l'algorithme et comprendre le tour, ce qui est l'affaire de 2h.
Le tour: