M02 Egyenes képe
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
Ha egy egyenes az alapkörön kívül van, akkor az összes pontjának a képe az alapkörön belül van, így ezen egyenes képe nem lehet egyenes. Ez azt jelenti, hogy a geometriai inverzió nem egyenestartó.
A következőkben több lépésben megvizsgáljuk, hogy egy egyenes képe mi lehet.
A definíció alapján nyilvánvaló, hogy a póluson átmenő (pólustól megfosztott) egyenes képe önmaga (invariáns egyenes).
Az alapkört érintő egyenes képe
Kaptuk, hogy az alapkört érintő egyenes képe a pólus és az érintési pont által meghatározott szakasz Thalész-köre. (2)
Egy kis kitérő
Kaptuk, hogy azonos pólusú, különböző hatványú inverziókkal kapott képek között középpontos hasonlósági kapcsolat van. A középpontos hasonlóság középpontja a pólus aránya pedig a hatványok hányadosa. (2)
A póluson át nem menő, az alapkört nem érintő egyenes képe
Legyen e a ko alapkört nem érintő az O pólusra nem illeszkedő egyenes, a képe e'. Legyen k1 O középpontú, az e-t érintő kör. Az (1) alapján az e k1-re vonatkozó képe az O pólusra illeszkedő, pólustól megfosztott kör (c). A (2) szerint c és e' egymás O középpontú centrális hasonlósággal kapott képei, így e' az O pólusra illeszkedő, pólustól megfosztott kör. A kép középpontjára és a pólusra illeszkedő egyenes merőleges az egyenesre. (3)
Összefoglalva
- Póluson átmenő (pólustól megfosztott) egyenes invariáns egyenes.
- A póluson át nem menő egyenes képe a póluson átmenő (pólustól megfosztott) kör.