Moebius-Transformation 1 konkret
Diese Seite ist Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (12.09.2021)
verbessert 30.01.2023
In der um erweiterten GAUSSschen Zahlenebene sind die gleichsinnigen Möbiustransformationen
gerade die gebrochen-linearen Transformationen
Die Koeffizienten können im Applet variiert werden! Ihre geometrische Bedeutung ist allerdings kaum zu erkennen.
Die Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen ist isomorph zu .
Ungleichsinnige Möbiustransformationen erhält man durch Verknüpfung mit Kreisspiegelungen, zB. mit .
Gleichsinnige Möbiustransformationen sind kreistreu und winkeltreu.
Irgendwo im geogebra-Handbuch ist angegeben: geogebra unterstützt die komplexen Zahlen nicht!
Das stimmt weiterhin an manchen Stellen (s.u.), jedoch läßt sich in geogebra inzwischen trefflich und problemlos
mit komplexen Funktionen wie Polynomen in , oder
rechnen.
Jede nicht-konstante gleichsinnige Möbiustransformation besitzt 2 Fixpunkte oder einen doppelt-zählenden Fixpunkt!
Allerdings ist es uns nicht gelungen, die einfache quadratische Gleichung in geogebra-Algebra
oder geogebra-CAS zu lösen.
Dies ist jedoch auch nicht nötig: mit dem Schulwissen über quadratische Gleichungen berechnet man händisch:
- , eine doppelt zählende Lösung, wenn die Diskriminante verschwindet.
Dass die Koeffizienten der quadratische Gleichung komplex sind, ist zwar ungewohnt, aber
kein Problem: die Funktion erkennt und rechnet komplex!
Oben im Applet wird dargestellt, wie eine Möbiustransformation ein -Gitter abbbildet.
Zur Information wird auch gezeigt, wie diese Möbiustransformation die orthogonalen Kreisbüschel um
und auf ebensolche Kreisbüschel um und abbildet:
diese Transformationen sind kreis- und winkeltreu!
Besitzt die Transformation nur einen Fixpunkt, sind die abgebildeten Kreisbüschel parabolisch:
sie berühren sich im Fixpunkt.