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2-teilige Quartik: Parameterdarstellung

Autor:Walter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene (31. März 2020).

Parameterdarstellung 2-teiliger bizirkularer Quartiken in Normalform Bizirkulare Quartiken entstehen als Schnitt der Möbiusquadrik (im Applet ist das die RIEMANNsche Zahlenkugel) mit einer 2.-ten Quadrik:
  • Schneide mit dem Zylinder . Dies ergibt, stereographisch projiziert, mit linearem und quadratischem , also insgesamt eine Quartik mit 9 reellen Koeffizienten.
Ist eine solche bizirkulare Quartik 2-teilig, so besitzt sie 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise, einer davon ist imaginär. Mit einer geeigneten Möbiustransformation erhält man die beiden Achsen und den Einheitskreis als reelle Symmetriekreise. Die Geichung reduziert sich dann auf die Normalform: , siehe die Seite zuvor. Die 2-teilige Form erklärt sich als Schnitt der RIEMANNschen Zahlenkugel mit einem achsen-symmetrischen elliptischen Zylinder, der die Kugel in 2 Teilen schneidet. ( siehe Quartik als Quadrikschnitt und das geogebra-book Kugel-Kegel-Schnitte). Siehe auch die Seite über Projektionen. Fall 1: und Der Einheitskreis trennt in der -Ebene die beiden Teile, die Quartik schneidet die Achsen in den Scheitelwerten
  • und .
3D im Raum erhält man die Quartik als Schnitt des orthogonalen Zylinders über der Ellipse , mit und . Daraus ergeben sich die Parameterdarstellungen
  • Auf der Kugel: ,
und stereographisch projiziert
  • in der Ebene : , .
Für oder zerfällt die "bi-zirkulare" Quartik in 2 Kreise, die sich in oder in schneiden. Zwei konzentrische Kreise ergeben sich, wenn ist.
Fall 2: und Die bizirkulare Quartik schneidet die -Achse in den oben berechneten Scheiteln , und den Einheitskreis in den Punkten mit und , die -Achse wird nicht geschnitten. Die Möbiustransformation mit bildet den Einheitskreis auf die -Achse ab, das Bild der Quartik ist vom obige Typ (Fall1). Die inverse Möbiustransformation ist . Die Scheitelwerte sind und . Für die Ellipse erhält man die Werte und und daraus die Parameterdarstellungen
  • 3D Auf der Kugel: ,
  • In : ,
Fall 3: und Die Quartik schneidet die -Achse und den Einheitskreis. Die Möbiustransformation mit bildet den Einheitskreis auf die -Achse ab. Scheitelwerte sind und . Für die Ellipse erhält man die Werte und und daraus die Parameterdarstellungen
  • 3D Auf der Kugel: ,
  • In : ,
Die Brennpunkte der bizirkularen Quartik:
  • Für und für , liegen die Brennpunkte auf der -Achse: mit
  • Für und für , liegen die Brennpunkte auf der -Achse: mit
Liegt oder zwischen -1 und 1, so liegen die Brennpunkte auf dem Einheitskreis. Mit Hilfe der oben angegebenen Transformationen kann man sie berechnen. Für die Parameterdarstellung sind die Brennpunkte nicht nötig. Da geToolbar Imagegebra die Wurzelfunktion auch als komplexe Funktion erkennt, kann man die Ellipsen-Brennpunkte komplex und trickreich berechnen: (ohne würden für keine Brennpunkte auf der -Achse berechnet werden!) Eine technische Bemerkung zu geToolbar Imagegebra: Die Möbiustransformation läßt sich nicht direkt wie oben angegeben als Funktion von definieren: verlangt wird eine "explizite Funktion in ". Definiert man jedoch die "Funktion in mehreren Variablen" , so kann man damit jede gleichsinnige Möbiustransformation mit komplexen Zahlen auswerten!

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