A reta de Simson-Wallace e o ortocentro do triângulo inscrito

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Artigo

Revista do Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo.

Se H é o ortocentro (intersecção das alturas) de um triângulo ABC e P é um ponto da circunferência circunscrita a ABC, então o ponto médio M do segmento PH pertence à reta de Simson-Wallace do triângulo ABC com polo em P.

Roteiro de investigação 1. Abra um novo arquivo no GeoGebra e escolha na barra de ferramentas a opção "CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS". 2. Com a ferramenta "POLÍGONO", desenhe um triângulo usando os três pontos A, B e C que definem a circunferência. 3. Em seguida, selecione o ícone "PONTO SOBRE UM OBJETO" e marque um ponto P qualquer na circunferência. 4. A partir do ponto P trace, com a ferramenta "RETA PERPENDICULAR", retas perpendiculares aos lados do triângulo inscrito na circunferência e marque os pontos E, F e G de intersecção entre essas perpendiculares e os lados do triângulo com "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS". 5. Caso necessário, prolongue os lados do triângulo ABC usando a ferramenta "RETA". 6. Usando o ícone "RETA", trace a reta s que passa por E, F e G. A reta s é a reta de Simson-Wallace de polo P em relação ao triângulo ABC.

7. Dos vértices A, B e C do triângulo, trace com a ferramenta "RETA PERPENDICULAR", a perpendicular ao lado oposto, marque os pontos de intersecção X, Y, Z das retas perpendiculares com o triângulo ABC e, com a ferramenta "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS", estabeleça o ortocentro H do triângulo ABC. 8. Para um melhor efeito visual, clique com o botão direito do mouse sobre todas as construções auxiliares, selecione a opção "EXIBIR OBJETO" e oculte, mantendo apenas o triângulo ABC, a reta s de Simson-Wallace de polo P, o ortocentro H do triângulo ABC, a circunferência que circunscreve o triângulo ABC e os pontos E, F e G. 9. A partir do polo P da reta de Simson-Wallace trace, com a ferramenta “SEGMENTO”, o segmento PH. 10. Marque, com a opção "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS", o ponto M, intersecção entre o segmento PH e a reta s de Simson-Wallace. 11. Usando a ferramenta “DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO”, constate que os segmentos PM e HM são congruentes, isto é, M é ponto médio do segmento PH.  12. Para finalizar, selecione com o botão direito do mouse o ponto P, polo da reta s, habilite a opção "ANIMAR" e observe o movimento da reta s de Simson-Wallace e a medida dos segmentos HM e MP.