La cicloide

El calculo del área bajo la cicloide la obtiene Roberval en 1634 aplicando el principio de las áreas de Cavalieri.

En el dibujo es fácil ver que el área de la circunferencia generadora se corresponde al área comprendida entre la cicloide y la curva que hemos dibujado en rojo, que se obtiene por traslación del segmento infinitesimal del circulo, con valores en función del arco de circunferencia entre 0 a 2π r. Esta es la primera vez que aparece la curva del seno, cuando la circunferencia que rueda es de radio unidad. El area bajo la curva en rojo es la mitad del area del rectangulo 2r x 2π r, es decir dos veces el área de la circunferencia que rueda. Para el calculo del área bajo la cicloide sumamos, al área bajo la curva sinusoidal, el area entre la cicloide y la sinusoide, que hemos visto que es igual al area del circulo que rueda.