放物線の外接三角形の極線は重心を通ることの証明
- 作成者:
- Bunryu Kamimura
１か月と少しかかってしまったけど、やっと証明できた。
証明の道筋
①準線と垂線の定理 ⇒垂線上の点の極線は平行 ⇒接点の垂線
②逆中点三角形の頂点が極線上にある ⇒①からいえる
③極Ｐの極線はＨとＥを通る ⇒ポンスレの定理より
④重心Ｇの極線がＫとＬを通る ⇒同上
⑤△Ａ’ＱＧ∽△ＡＢＧの証明 ⇒内分と外分の比から（ＣＱ＝ＣＫ）
二辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
⑥相似なので∠Ａ’ＧＱ＝∠ＡＧＥなのでＨ，Ｇ，Ｅが一直線上にある
⑦よってＰの極線はＧを通る
⑤の証明
△A'QGと△ABGについて （QはEHとA'B'の交点とする）
∠QA'G＝BEG
A'G：GA＝２：１
ここでA’QとAEの比を求める。
△CMBでDを極とすると、内分と外分だから BH：HC＝BN：CN
△NBEについてAC//EBより、BN：CN＝BE：CK
よって、BH：CH＝BE：CK
△CQHと△BEHについて、CH：BH＝CQ：BE
よって、CQ：BE＝CK：BE となるので、CQ=CK
次に、AE＝１とすると、B'K＝２
B'K＝A'Q＝２となるので、A’Q：AE＝２：１となる。
よって、二辺の比とその間の角が等しいので、
△A'QG∽ABGとなり、∠QGA'＝∠EGAなので、Q，G，Eは一直線上にある。
つまりＰの極線はＧを通る。（証明終わり）