Extremalwertaufgaben: Anwendung mit Erläuterung (1)

Thema:
Fläche
Dieses Arbeitsblatt soll dem Leser den Sinn und Zweck von Extremalwertaufgaben näher bringen. Voraussetzungen für das Verständnis dieser Aufgaben sind Kenntnisse über quadratische Gleichungen und deren Scheitelpunkt und die Berechnung von Flächen und Umfang.
Tipps zur Berechnung: 1) Wir fassen zusammen, was wir wissen: 2a+b=5m, Fläche: A= a*b 2) Nun versuchen wir die Fläche zu berechnen, indem wir die gegebene Gleichung umformen: 2a+b=5m , b= 5m - 2a 3)wenn wir die beiden Formeln ineinander einsetzen erhalten wir Folgende Formel für die Fläche: A= a * b= a ( 5m - 2a)= 5a-2a² = -2a²+5a Das ist der Trick bei solchen Extremalwertaufgaben! 4) Die oben notierte Formel ist eine quadratische Gleichung und somit eine quadratische Funktion 5) Durch die Berechnung des Scheitelpunktes ( der höchste Punkt einer Funktion) erhalten wir mit der x-Koordinate die maximale Seitenlänge für die dazugehörige maximale Fläche für die y Koordinate erhalten wir die Fläche 6) Scheitelpunkt: S= (-b/2a ; (4ac-b²)/ 4a) zur Funktion f(a) = -2a² + 5a; Wir setzen die Zahlen ein; a= -5 / 2*(-2)= -50/-4= -25/-2= 1.25 A= y= (4ac-b²)/ 4a= (4(-2)0)-5² / 4(-2)= -25/ -8= 3.125 7) Fazit: Sobald wir für a 1.25m einstellen, ergibt sich daraus die maximale Fläche von 3.125m².