Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Definitionen von Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeit wird meist mit P oder p für " probability" abgekürzt. Eine Zufallsvariable X ordnete jedem Ausfall eines Zufallversuches eine reelle Zahl zu. P(X=a)= Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert a annimmt. Meist kann diese durch folgende Formel berechnet werden: Wahrscheinlichkeit = Versuchsausgänge z.B P(X= 6)= und beschrieb die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert 6 annimmt. In der untenstehenden Animation wird dargestellt, wie sich die relative Häufigkeit h für die jeweils dargestellte Augenzahl eines sechsseitigen Würfels bei n Versuchsdurchführungen verändert. Je höher die Anzahl n der Würfe, desto mehr nähern sich diese relativen Häufigkeiten , die dargestellte Augenzahl zu erhalten (mit = 1, 2, 3 , 4, 5, 6) , dem Wert an. Das "Empirische Gesetz der großen Zahlen" besagt: " Wird eine Versuchsreihe zu je n Versuchen mehrfach durchgeführt und ist n groß, so weichen die einzelnen Häufigkeitsverteilungen nur wenig voneinander ab und schwanken um die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung." Allgemein kann man daher sagen: Bei zunehmender Anzahl n der Versuchsdurchführungen nähert sich jede relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit an . Die Häufigkeitsvertielung von X nähert sich der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an. (X....Zufallsvariable) Anmerkung: Die Animation wurde von Andreas Lindner erstellt.

Ein Würfel wird geworfen.

Welche Werte kann die Zufallsvariable X annehmen.

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Bei Drehen eines Rouletterades kommt eine Zahl zwischen 0 und 36, d.h 0, 1, 2, ....., 35, 36.

Das Rouletterad wird einmal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine positive gerade Zahl zu erhalten. (Vorschicht: 0 ist weder positiv noch gerade)

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In einer Urne befinden sich zwei rote und drei blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. X sei die Anzahl der dabei erhaltenen blauen Kugeln.

Welche Werte kann X annehmen?

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In einer Urne befinden sich zwei rote und drei blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. X sei die Anzahl der dabei erhaltenen blauen Kugeln.

Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.

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Eine Münze wird viermal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal "Kopf" zu bekommen?

Ermittle die Wahrscheinlichkeit P(X=2mal Kopf)

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Der PIN-Code bei Handys ist eine vierstellige Ziffernfolge, bei der die Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8 und 9 auch mehrmals verwendet werden können. z.B 1223 oder 1234 oder 1219

Wie viele verschiedene PIN-Codes sind überhaupt möglich? Berechne

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Basentripletts stellen die kleinsten Einheiten des genetischen Codes dar. Diese Tripletts (z.B AAC, GAC,..) sind geordnet und bestehen aus den vier Basen Guanin (G), Cytosin (C) , Adenosin (A) und Thymin (T).

Wie viele Basentripletts sind prinzipell möglich? Fact: Tripletts codieren in einem RNA-Strang entweder Aminosäuren oder haben unter anderem funktionelle Bedeutung für der Proteinbiosynthese. Durch Wasserstoffbrücken verbinden sich die Purinbase Adenosin mit der Pyrimidinbase Thymin ( A =T) und die Purinbase Guanin mit der Pyrimidinbase Cytosin (G C) in der DNA.

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