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3.1 I coefficienti della parabola

Auteur :SantaMath
Thème :Parabole
La parabola è descritta da una equazione di secondo grado molto particolare. Teorema: una parabola con asse verticale è il luogo dei punti del piano che sono soluzioni di un’equazione di secondo grado in due incognite del tipo:

con a,b,c numeri reali e

in cui il vertice V e il fuoco F hanno le seguenti coordinate: e la retta direttrice ha equazione (ricordando la formula del discriminante ) Grazie a questo risultato possiamo studiare come varia la forma di una parabola al variare dei suoi coefficienti algebrici a,b,c. Creiamo dunque una parabola seguendo queste semplici istruzioni:
  1. Utilizzando lo strumento Slider Toolbar Image definiamo il numero a, con valori da -5 a 5 e incremento 0.1 .
  2. Settiamo inizialmente il valore a=1.
  3. Ripetiamo la costruzione del punto 1 per definire il numero b, con valori da -10 a 10 e incremento 0.1 .
  4. Settiamo inizialmente il valore b=0.
  5. Per ultimo definiamo c, con valori da -5 a 5 e incremento 0.1 .
  6. Settiamo inizialmente il valore c=0.
  7. Adesso nella parte Algebra di GeoGebra (il pannello a sinistra) andiamo in una casella libera e scriviamo l'espressione algebrica della parabola inserendo "y=a x^2 + b x + c" (senza le virgolette "").
Il risultato ottenuto dovrebbe essere simile a quello mostrato di seguito. Il foglio mostra anche altri dettagli non necessari, la cui utilità si comprende nel provare a rispondere alle domande.
Nota: tutto ciò che viene fatto in questa scheda riguarda le parabole con asse verticale, ma può essere tranquillamente usato anche per le parabole con asse orizzontale, scambiando semplicemente le variabili x e y in ogni formula e coordinata dei punti studiati: l'equazione diventa , il vertice diventa , il fuoco e la direttrice .

Modificando il parametro a come cambia la curva?

Come cambia la parabola se o

Cosa accade se ? Perché?

Riposizionando il valora a=1, come cambia la parabola al variare di c? C'è un punto che sembra legato al valore di c?

Se invece modifichiamo il parametro b, come cambia la parabola? C'è qualcosa che rimane invariato?

Riporta i valori iniziali di a=1, b=0, c=0 e attiva la traccia del vertice V. Variando solo il parametro b, che curva va a formare la traccia di V?

Prova a scrivere l'equazione della curva formata dalla traccia di V, usando i valori della parabola di partenza: (per verificare la correttezza della tua ipotesi puoi inserire la curva nel pannello Algebra e controllare se il vertice V si muove su di essa oppure no)

Dopo quest'analisi, prova a spiegare il legame tra i singoli coefficienti a,b,c e la forma della parabola nel piano:

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