Teselados aperiódicos
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra La fábrica de teselados.
Nuestra fábrica de teselados solo crea teselados periódicos. Tal vez creas que todos lo son, pero no es así. Un simple rectángulo 2x1 puede crear teselados periódicos, si los colocamos en cierto orden, pero si somos caóticos, colocándolos al tuntún, también puede crear una infinidad de teselados que no son periódicos, es decir, no son reproducibles trasladando una región finita por todo el plano.
Compara, por ejemplo, el principio de un mosaico periódico (parte izquierda de la pantalla) con el de uno aperiódico (parte derecha). En este último se supone que, al añadir nuevos rectángulos, no se va a repetir la misma distribución de rectángulos que ya se ha construido, sino que cada nuevo rectángulo que se añade lo hace de modo independiente de esa distribución (o sea, que "va a su bola").
La pregunta que se formularon hace tiempo los matemáticos es si existe algún polígono (o conjunto de polígonos) que pueda teselar el plano aperiódicamente pero no pueda hacerlo de forma periódica, como hace el rectángulo.
Se han encontrado diversas soluciones con más de un polígono. En 2023, un matemático aficionado, David Smith, resolvió el problema conocido como "einstein" (unapiedra), encontrando un polígono que por sí solo y su reflexión (es decir, el mismo polígono volteado en el espacio), puede teselar todo el plano pero solo de modo aperiódico.
En la siguiente construcción puedes ver cómo se obtiene ese polígono y su reflexión. Tomando como cuadrícula la isométrica, sobre ella construimos una simple "flecha rectangular". Esta figura tesela el plano por traslación, es decir, periódicamente. Pero si la modificamos como indica la construcción (moviendo el deslizador), deshacemos esa capacidad.
En la siguiente construcción puedes intentar combinar ambas piezas para teselar (aperiódicamente) el plano. Para ello dispones de dos herrramientas personales (botones en la parte superior): una para la pieza roja y otra para su simétrica azul. Para colocarlas, elige la que desees y haz clic sobre cualquier punto de la pantalla. El punto blanco te permite girar cada pieza. El punto azul te permite trasladarla. (Puedes ocultar este punto con la herramienta de GeoGebra "Mostrar/ocultar objeto", en el último botón, pues cada pieza también se puede trasladar arrastrando el polígono.)
Autor de la actividad y las construcciones: Rafael Losada.