Теорему косинусов и ее доказательство

Формулировка теоремы косинусов

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

[img]http://profmeter.com.ua.opt-images.1c-bitrix-cdn.ru/upload/medialibrary/1f1/Eqn39.gif?13070912351227[/img]

Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними

Доказательство теоремы косинусов

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a) Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD. Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что AB = AD + BD Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике: AD / AC = cos α откуда AD = AC cos α AD = b cos α Длину стороны BD найдем как разность AB и AD: BD = AB - AD BD = c − b cos α Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC: для треугольника BDC CD² + BD² = BC² для треугольника ADC CD² + AD²= AC² Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону - CD. Определим ее длину для каждого треугольника - вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное - в правую. CD² = BC² - BD² CD² = AC²- AD² Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений: BC² - BD² = AC²- AD² Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что: AD = b cos α BD = c − b cos α AC = b (по условию) А значение стороны BC обозначим как a. BC = a (Именно его нам и нужно найти) Получим: BC² - BD² = AC²- AD² Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений a² - ( c − b cos α )² = b²- ( b cos α )²перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения - на правую a² = ( c − b cos α )² + b²- ( b cos α )² раскроем скобки a² = b²+ c ² - 2c b cos α + ( b cos α )² - ( b cos α )² получаем a² = b²+ c ² - 2bc cos α Теорема косинусов доказана. Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Следствие из теоремы косинусов.

Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника:

Если конкретно:

Когда b² + c² - a²> 0, угол α будет острым;
Когда b² + c² - a² = 0, угол α будет прямым (когда угол α является прямым, значит, теорема косинусов переходит в теорему Пифагора);
Когда b² + c² - a² < 0, угол α будет тупым.

Классическое доказательство теоремы косинусов.

Пусть есть треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Значит:AD = b cos α,DB = c – b cos α

Записываем теорему Пифагора для 2-х прямоугольных треугольников ADC и BDC: h²= b² - (b cos α)² (1) h² = a² - (c – b cos α)² (2) Приравниваем правые части уравнений (1) и (2): b² - (b cos α)² = a² - (c - b cos α)² либо a² = b² + c² - 2bc cos α. Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше. Определить стороны b и c: b² = a² + c² - 2ac cos β c² = a² + b² - 2ab cos γ.

Теорема косинусов для остроугольного треугольника.

Если угол острый, то справедлива формула: a²= b²+ c²−2bx

Теорема косинусов для прямоугольного треугольника.

Теорема косинусов для тупоугольного треугольника.

[img]http://profmeter.com.ua.opt-images.1c-bitrix-cdn.ru/upload/medialibrary/1f1/Eqn39.gif?13070912351227[/img]
Если угол тупой, то справедлива формула:

[i]a[sup]2[/sup]= b[sup]2[/sup]+ c[sup]2[/sup]+ 2bx.[/i] — Если угол тупой, то справедлива формула: *a²= b²+ c²+ 2bx.*

Если угол тупой, то справедлива формула: *a²= b²+ c²+ 2bx.*

Теорему косинусов и ее доказательство

Формулировка теоремы косинусов

Следствие из теоремы косинусов.

Классическое доказательство теоремы косинусов.

Теорема косинусов для остроугольного треугольника.

New Resources

Discover Resources