Oma yo-tehtävä
Tehtävänanto
Nimellispainolla tarkoitetaan elintarvikepakkaukseen merkittyä massaa. Kauppa- ja teollisuusministeriön mukaan sallittu massan alitus 5-50 g painavilla tuotteilla on 9 %. (Suomen säädöskokoelma 2000.) Jos alitus on suurempi kuin 9 %, elintarviketta ei saa laskea myyntiin.
Erään suklaapatukan nimellispaino on 45 g. Tehtaalla tehtyjen mittausten mukaan suklaapatukan keskimääräinen massa on 45 g ja valmistusprosessista johtuva poikkeama keskimääräisestä massasta on keskimäärin 5 g.
a) Mitä todennäköisyysjakaumaa suklaapatukoiden massa noudattaa? Mitkä ovat jakauman parametrit? (3p)
b) Millä todennäköisyydellä suklaapatukan todellinen massa on niin pieni, että alitus on suurempi kuin 9 % nimellispainosta? (5p)
c) Tehtaalla valmistetaan 100 suklaapatukan erä. Kuinka monta suklaapatukkaa erästä saa Kauppa- ja teollisuusministeriön ohjeiden mukaan laskea myyntiin? (2p)
d) Otto sattui ostamaan niin painavan suklaapatukan, että todennäköisyysjakauman mukaan vain 1 % kaikista valmistetuista patukoista on vähintään samanmassaisia. Mikä oli Oton ostaman suklaapatukan massa? (2p)
Malliratkaisu
a) Suklaapatukoiden massa noudattaa jatkuvaa jakaumaa, tarkemmin normaalijakaumaa. Normaalijakauman odotusarvo on 45 g ja keskihajonta on 5 g.
b) Selvitetään ensin 9 % alitusta vastavaan suklaapatukan todellinen massa.
Siis suklaapatukoissa, joiden massa on alle 40,95 g, on ohjeen mukaista 9 % maksimialitusta suurempi alitus.
Todennäköisyys sille, että massa on pienempi kuin pienin sallittu massa voidaan selvittää Geogebran Todennäköisyys-sovelluksella. Kun jakauman tyypiksi valitaan normaalijakauma, muuttujaksi μ vaihdetaan odotusarvo 45, muuttujaksi σ 5 ja väliksi valitaan vasemmanpuoleinen, voidaan selvittää todennäköisyys . Kahden desimaalin tarkkuudella vastaukseksi saadaan 0,21.
c) Ratkaisussa voidaan hyödyntää b-kohdan vastausta. Todennäköisyys alle 9 % alitukselle nimellispainosta voidaan laskea vastatapahtuman todennäköisyyden kaavalla. . Siis sadan suklaapatukan erästä todennäköisesti saa laskea myyntiin.
Laskussa käytetyn todennäköisyyden voi laskea myös Geogebran Todennäköisyys-ohjelmalla samaan tapaan kuin b-kohdassa.
d) Valitaan Geogebran Todennäköisyys-sovelluksessa samat parametrit kuin aikaisemmin b-kohdassa. Väliksi valitaan oikeanpuoleinen ja todennäköisyydeksi kirjataan 0,01. Kysytyn massan arvoksi saadaan kahden desimaalin tarkkuudella 56,63 g.
Todennäköisyyden voi laskea myös vastatapahtuman kautta.
b)
d)
Pisteytysohjeet
a) Jakauma oikein (1p), odotusarvo oikein (1p) ja keskihajonta oikein (1p).
b) Pienin sallittu massa laskettu oikein (2p). Vastauksesta käy ilmi, että siinä pyritään laskemaan juurikin kysyttyä todennäköisyyttä. (1p) Todennäköisyys-ohjelmaan kirjattu oikeat parametrit (1p) ja niillä saatu oikea ratkaisu desimaalilukuna tai prosentteina (1p).
c) Oikea vastaus (1p) ja perustelu sille, esimerkiksi vastatapahtuman todennäköisyyden kaava (1p) TAI kuvakaappaus Todennäköisyys-ohjelmasta, johon kirjattu oikeat parametrit (1p) ja oikea vastaus (1p)
d) Todennäköisyys-sovelluksessa valittu oikea väli ja tehtävänannossa annettu todennäköisyys (tai vastatapahtuman todennäköisyys) sijoitettu oikeaan kohtaan (1p) ja sovelluksesta poimittu oikea vastaus grammoina (1p).