Raiz de 2 é racional?
- Autor:
- Ion Moutinho
Existe um segmento que, segundo o teorema de Pitágoras, deve corresponder a um número cujo quadrado é 2, o famoso raiz de 2. Contudo, obter uma expressão decimal para este número não é uma tarefa fácil. Uma estratégia para tentar obter uma expressão decimal é buscar uma expressão fracionária para a raiz de 2. Esta construção deve ajudar e explorar esta questão.
Perceba na construção a representação da raiz de 2 na reta numérica. Escolhendo valores para n, é possível subdividir um pedaço da reta numérica em múltiplos de uma fração da unidade. Por exemplo, fazendo n = 10 vemos que raiz de 2 é um pouco maior do que 14/10. Para n = 12, vemos que raiz de 2 está bem próximo de 17/12, só um pouco menor. Veja o que acontece quando n = 17? Será que podemos deduzir que raiz de 2 é 24/17? Faça o seguinte, amplie a figura para ter certeza se raiz de 2 coincide mesmo com 24/17. O que acontece?
Se raiz de 2 não coincidir com 24/17 tente outros valores para n. Veja, por exemplo n = 58. Faça o seguinte, escolha valores grandes para n, bem grandes. Veja o que acontece com o segmento representado por 2. O segmento fica preenchido por pontos, não? Então, a raiz de 2 vai coincidir com um destes pontos, não? Para tirar a dúvida, use o recurso de ampliação então. Ah, lembre-se que você sempre pode escolher valores cada vez maiores para n.
O que você conclui desta experiência, é possível fazer a raiz de 2 coincidir com uma fração?