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Área de uma superfície esférica

Autor:Renan Borges
Tópico:Geometria

Agora que já aprendemos como determinar o volume de uma esfera, vamos usar esse resultado para verificar o cálculo da área de uma superfície esférica. Uma esfera pode ser imaginada como a reunião de vários sólidos, parecidos com "pirâmides", de vértices em C (centro da esfera), como representado na figura a seguir.

Image

De fato, esses sólidos não são verdadeiramente pirâmides, pois a "base" de cada sólido é uma superfície arredondada. Entretanto, vê-se que, quantos mais sólidos considerarmos, mais a base deixa de ser arredondada e se torna mais plana, se aproximando, assim, da forma de uma pirâmide. A altura de cada "pirâmide" é o raio da esfera. Considere uma esfera de centro C decomposta em uma quantidade de sólidos parecidos com pirâmides cujos vértices se encontram no centro da esfera. Desse modo, a superfície esférica fica dividida em "polígonos", bases das pirâmides, cujas áreas chamaremos de S1, S2, S3, ..., Sn. Para n muito grande, cada "polígono" tem área e perímetro muito pequenos e a soma das áreas de todos esses polígonos se aproxima da área da superfície esférica S: I

Além disso, quanto maior for o número n, mais a soma dos volumes de todas essas "pirâmides" se aproxima do volume da esfera. O volume de uma pirâmide é dado por e, sendo = (raio da esfera) e = , que é a área do i-ésimo polígono, podemos escrever o volume da i-ésima pirâmide como , = 1, 2, ..., n.
Assim, se V é o volume da esfera, para n muito grande, temos: II Substituindo I em II : Logo, como , temos: Vimos que, quanto maior for o número , mais se aproxima de . Logo, fazendo n tender ao infinito, obtemos a igualdade

Veja a explicação com o Professor do canal Central Matemática.

Assim, se V é o volume da esfera, para n muito grande, temos: II Substituindo I em II : Logo, como , temos: Vimos que, quanto maior for o número , mais se aproxima de . Logo, fazendo n tender ao infinito, obtemos a igualdade

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1-A professora Cristina produziu com os estudantes de sua turma da pré-escola enfeites de Natal no formato de esferas, com 12 de diâmetro cada uma. Para pintar a superfície dessas esferas, ela dispõe de uma latinha de tinta, na qual o fabricante afirma ser possível pintar até 5 de superfície com esse conteúdo. Nessas condições, qual é o número máximo de enfeites que a turma de Cristina poderá pintar?

Resolução Em cada esfera: Considerando temos: Como é possível pintar até 5 (50 000 ) com a latinha de tinta, temos: Portanto, a turma da professora Cristina poderá pintar até 110 enfeites.
2-Uma esfera cuja superfície tem área igual a 676p . Nessas condições, determine: a) a medida do raio da esfera; b) o volume da esfera.
Resolução a) Cálculo do raio da esfera: Como r é positivo, temos / Portanto, o raio da esfera é b) Cálculo do volume: / ou seja Portanto, o volume da esfera é

Exercícios

1-Uma esfera de raio 8 cm é seccionada por um plano distante 5 cm de seu centro.

Calcule o raio do círculo encontrado pela secção e a área da esfera.

2-Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8 , calcule o raio da esfera.

3-Abaixo temos a ilustração de um semicírculo como mostra a janela de visualização em 3D.

Qual é a área total da superfície esférica gerada pela rotação completa do semicírculo da figura em torno de seu diâmetro AB?

4-Supondo que a Terra seja uma esfera perfeita, e sabendo que seu raio é de aproximadamente 6 400 km, determine:

a) a área total da superfície terrestre (use ); b) o valor percentual que ocupa o continente americano, cuja área é de 42.215.000 , em relação à superfície total da Terra. Utilize a calculadora para auxiliá-lo nos cálculos

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