Pythagoras konstruktion
- Forfatter
- Lisa Christensen
Her er en af de konstruktioner man bruger til at bevise Pythagoras læresætning med. Du kan overbevise dig om, at konstruktionen kan lave for alle trekanter ved at ændre på den oprindelige trekant.
Hvis du trækker i A ændrer du størrelsen af trekanten.
Hvis du trækker i B ændrer du på vinklerne i trekanten.
Når du klikker på pilene i øverste højre hjørne, vender du tilbage til start.
Sammenligning af arealer.
For at bevise Pythagoras, kan man bestemme arealet af den store firkant på to måder og så sammenligne. Arealet er jo det samme uanset hvordan man bestemmer det, og det kan udnyttes i beviset.
Kvadrater.
Vi har to kvadrater i figuren.
Den store firkant er et kvadrat, fordi den er konstrueret af fire retvinklede trekanter, så alle fire vinkler er rette, og vi kan se at alle siderne har længden .
Den lille firkant er også et kvadrat. I hver af trekanterne har vi en rød, blå og grøn vinkel. Den grønne er den rette vinkel i vores retvinklede trekant på . Vinkelsummen i en trekant er , så den røde og den blå vinkel må tilsammen være . Hvis vi ser på vinklerne ved punktet A eller B, så har vi en rød og en blå og en ukendt vinkel, der tilsammen giver en lige vinkel på . Det må betyde, at den ukendte vinkel i firkanten er , og det samme gælder for de andre vinkler i firkanten, så vinklerne er rette. Alle sider er hypotenusen i vores trekant, så de er også ens og vi har et kvadrat.
Trekanten
Arealet af en trekant er en halv højde ganget med grundlinjen.
I vores tilfælde har vi en retvinklet trekant, så hvis er grundlinjen, så er højden i trekanten, da de to kateter står vinkelret på hinanden.
Vi har altså at arealet af vores trekant er
Arealer
Arealet af det store kvadrat:
Arealet af det lille kvadrat
Arealet af 4 trekanter
Hvis vi ser på figuren, så må arealet af det store kvadrat være lig summen af arealerne af det lille kvadrat og 4 trekanter, så vi får relationen:
Altså at summen af kvadraterne på kateterne er lig kvadratet på hypotenusen.
Og så har vi bevist Pythagoras læresætning.