GeoGebra

G 02 Feladatok a gömbi geometria témaköréből

Author:Szilassi Lajos
Nem titkolt célunk, hogy a gömbi geometria eszköztárát, szerkesztéseit összehasonlítsuk az euklideszi -és főként . a hiperbolikus geometriai szerkesztésekkel. Ezért itt ismét felsoroljuk a P-modellen bemutatott feladatainkat azzal a céllal, hogy olvasóink - jórészt önállóan - oldják meg ezeket az itt megismert eszköztárral. Itt csak a valamilyen szempontból érdekesebb, újszerűbb, az előzőektől eltérő látásmódot igénylő feladatokra fogunk kitérni. A továbbiakban, a pont, egyenes, szakasz, háromszög, stb. szavak gömbi pontokat egyeneseket, szakaszokat háromszögeket jelentenek. Ha ettől eltérünk, azt jelezni fogjuk.

Metszési, illeszkedési feladatok

  1. Legyen adott az A, B és O pont. Szerkesszük meg az O középpontú AB sugarú kört! A feladat megoldására két út is kínálkozik: 1.1 c=GFelezőmerőleges(O,A) C=GTükrözés(B,c)  d=GKör(O,C) 1.2 e=Gszakasz(A,B) f=GkörS(O,e/5)
  2. Legyen adott az A és B pont. Szerkesszük meg az AB átmérőjű kört!  c=GFelezőmerőleges(A, B)  C=GMetszéspontKAB(c, A, B) d=GKör(C, A)
  3. Vizsgáljuk meg, mekkora szög alatt látszik az AB ármérőjű G-kör pontjaiból az AB G-szakasz? Az előző szerkesztést folytatva: P=Pont(d) α=Gszög(A,P,B) szöveg: APB∢ = +α+ Figyeljük meg, hogy az α szög nagysága egyrészt függ attól hogy hol helyezkedik el a P pont a d körön, másrészt függ az AB G-szakasz hosszától: tehát Thalesz tétele nem érvényes a gömbi geometriában.
  4. Legyen adott az AB és CD szakasz. Szerkesztéssel döntsük el, hogy melyik szakasz a nagyobb! Javasolt út: t=Gfelezőmerőleges(A,C) E=GTükrözés(B,t) f=Gkör(C,E) F=GMetszéspontKAB(f,C,D) a=DefiniáltE(F) A választ az a változó tartalmazza. Megjegyezzük, hogy ezt a relációt a GeoGebra az objektumok neveihez rendelt értékekkel, tehát az AB és CD G-szakaszok (euklideszi értelemben körívek ) mértékével is jelzi.
  5. Legyen adott az O pont, valamint a t1=(O,A) egyenes. Legyen t2 a t1-re merőleges, ugyancsak O-ra illeszkedő egyenes. Legyen az alapgömb egy P pontjának a t1-re vonatkozó tükörképe P’, majd ennek a t2 re vonatkozó tükörképe P''.  Mutassuk meg, hogy P'' nem függ t1 megválasztásától, sem a tükrözések sorrendjétől, továbbá azt, hogy PP'' szakasz felezőpontja O! E két tengelyes tükrözés szorzatát (egymásba ágyazott végrehajtást) nevezzük az O pontra vonatkozó középpontos tükrözésnek.
  6. Legyen adott az O pont, valamint a t1=(O,A1) és t2=(O,A2) két tetszőleges, O-ra illeszkedő egyenes. Legyen egy tetszőleges P pontnak a t1-re vonatkozó tükörképe P’, majd ennek a t2-re vonatkozó tükörképe P''. Mutassuk meg, hogy P'' csak az O pont megválasztásától, a t1 és t2 egyenesek szögétől, és a tükrözések sorrendjétől függ. Mutassuk meg, hogy a (P,O,P'')∢=2α , ahol α=(A1,O,A2)∢.
E két tengelyes tükrözés szorzatát nevezzük az O pont körüli forgatásnak, ahol a forgatás szögét a két tengely szöge, irányát a tükrözések sorrendje határozza meg.Megjegyezzük , hogy az GSzög() eljárás eredménye az előjel nélküli 0≤α ≤180° szög, így ha P1=Gtükrüzés(Gtökrörözés(P, t1), t2) és P2=Gtükrüzés(Gtökrörözés(P, t2), t1) akkor P2=Gtükrüzés(GEgyenes(O,P)),vagyis a tükrözések sorrendjét megválasztva lényegében egy előjeles szöggel történő forgatást kaptunk. Lényegében a 4. és 5. feladatban azt kell megmutatnunk, hogy az abszolut geometriában bevezetett egybavágósági transzformációk a gömbi geometriában is ugyanúgy működnek. Legyen adott az A,B,C gömbháromszög. Szerkesszük meg az euklideszi (és a hiperbolikus) geometriából ismert nevezetes vonalait és pontjait:
  • A magasságegyeneseit; a köré írt körét;
  • belső és külső szögfelező egyeneseit, beírt és hozzáírt köreit.

Gömbkétszögek, gömbháromszögek

  1. Legyen a és b két G-egyenes(gömbi főkör)! Hány közös pontjuk van? Hány gömbkétszögre osztják a gömbfelületet?
  2. Legyen a ,b, c három különböző (gömbi) egyenes . Hány gömbháromszöget határoznak meg?
  3. Legyen a∩b =C1∧C2 , b∩c =A1∧A2 , c∩a =B1∧B2 ,Mutassuk meg, hogy az A1,B1C1 Δ, A1B1C2 Δ, A1,B2, C1 Δ és az A1,B2C2 Δ együtt egy félgömb felületet alkot.
  4. Hányféleképpen adható meg egy félgömbfelület a három gömbi egyenesel kapott gömbháromszögekből?
  5. Igaz-e, hogy az így kapott gömbháromszögek között mindig van olyan, amelynek mindhárom oldala nem nagyobb a derékszögnél?
Bár erősen javasoljuk olvasóinknak, hogy ezeket a kérdéseket önállóan szerkesztett demonstrációkkal illusztrálva válaszolják meg, ezzel a demonstrációval szeretnénk megerősíteni a kérdésekre adható válaszukat, egyúttal példát mutatva a gömbi eljárások alkalmazására.

Megjegyzés:

Ebben a GeoGebra book-ban találnak olvasóink olyan geometria feladatokat, amelyek euklideszi geometriában, a hiperbolikus geometriában ( közelebbről a P-modellen), és a gömbi geometriában is megoldhatók. Sok tanulsággal járhat a három geometriai rendszerben kapott megoldások összeghasonlítása.  Legyen adott a G-modellen az A,B,C és D pont, amelyek ebben a (ciklikus) sorrendben helyezkednek el a G-sík egy adott s körén. Mit állíthatunk a kapott ABCD húrnégyszög szögeiről?  Hogyan tudnánk a sejtésünket igazolni? Egy kört az AB átmérője két ívre osztja. Ezek közül az egyiken kijelöljük a C és D pontokat. Legyen az AC és BD egyenesek metszéspontja P, az AD és BC egyeneseké pedig Q! Mekkora szöget zár be a PQ egyenes az AB átmérővel? Legyen A, B, C, D egy egyenes négy pontja, továbbá legyen M a CD szakasz felező merőlegesén mozgó pont! Legyen C' a C pontnak az (AM) egyenesre, D' a D pontnak a (BM) egyenesre vonatkozó tükörképe! Legyen adott egy egyenesen két pont, A és B. Szerkesszünk olyan egymást érintő köröket, amelyek egyike az adott egyenest A-ban, másikat B-ben érinti. Mi a két kör közös pontjának a mértani helye? Legyen három, egymástól különböző pont A, B és C. Szerkesszünk három, egymást páronként érintő kört (ciklust), amelyek érintési pontjai A, B és C!

New Resources

Discover Resources

Discover Topics