Números de Fibonacci en el triángulo de Tartaglia-Pascal
Los números de Fibonacci:
F1 = F2 = 1, Fm+1 = Fm + Fm-1
se obtienen en el triángulo de Tartaglia-Pascal, sumando los números que aparecen en las diagonales con pendiente ½
Girando el triángulo para apoyarlo sobre la fila izquierda de unos, se puede obtener una demostración combinatoria. Colocar el deslizador m del applet anterior en 11 para una mejor identificación.
En una retícula cuadrada, se numeran puntos consecutivos en una línea horizontal como 1 .. n. Por cada uno de ellos se traza una línea ln de pendiente -½. Se cuentan entonces de dos formas el nº de caminos Cn constituidos por pasos de longitud 1 hacia la derecha o hacia arriba que llevan desde el punto 1 hasta cualquier punto de la línea ln. Para l1 y l2, no representadas, hay un solo camino: de cero pasos para l1 y de un paso horizontal para l2.
Esto también podría hacerse directamente sobre el triángulo, sustituyendo los pasos a la derecha por pasos hacia abajo a la izquierda, y los pasos hacia arriba por pasos hacia abajo a la derecha, desde el vértice inicial a la diagonal que nos interese. Pero queda un poco más claro como se hace a continuación.
1ª forma: La línea ln se alcanza por caminos con un último paso horizontal C→ o vertical C⭡. Pero los C→ provienen de ln-1, por lo que C→ = Cn-1, mientras que los C⭡ provienen de ln-2, por lo que C⭡ = Cn-2. Como C1 = C2 = 1, se concluye que Cn es el n-simo número de Fibonacci, Fn.
2ª forma: El número de caminos que llegan a la línea ln es la suma del número de caminos que llegan a cada uno de sus puntos. Para llegar a cada uno de estos puntos, hay que dar, en cualquier orden, k pasos verticales y (n - 1) - 2k horizontales. En total, n - k - 1 pasos, de los que k son verticales. Y estos pueden ir desde 0 hasta la parte entera de (n - 1)/2, pues la base de este triángulo tiene longitud n - 1 y la altura (n - 1)/2, no existiendo punto de la cuadrícula en la recta ln en la vertical del punto 1 si n es par.
Se concluye por tanto que Fn es igual a la referida sumatoria.