6. Die Ableitungsfunktion - eine Tangentensteigungsfunktion
Tangentensteigungen lassen sich bei jedem x bestimmen
Im vorangehenden Kapitel wurde gezeigt, wie man mit Hilfe des Differentialquotienten eine Tangentensteigung berechnen kann, z.B. . Wenn man als Argument in die Funktionsgleichung keine Zahl einsetzt, sondern einfach die Variable , dann erhält man eine Funktionsgleichung als Ergebnis. Diese Funktionsgleichung nennt man Ableitungsfunktion. Diese Ableitungsfunktion gibt also bei jedem , das man einsetzt, die momentane Steigung der Funktion wieder.
Verwenden wir wieder , dann sieht das so aus: .
Man sagt ist die Ableitungsfunktion der Funktion .
Lösen des Differentialquotienten mit Geogebra
Der Differentialquotient ist die Definition für eine Ableitungsfunktion.
Aber mit Hilfe des Differentialquotienten lassen sich Regeln entdecken, mit denen das Ableiten einfacher geht, als immer diesen Grenzwert bilden zu müssen.
Gehen Sie in Geogebra in den CAS-Modus.
Der Befehl "Grenzwert()" ist dafür da den Grenzwert () zu berechnen.
Um die Ableitungsfunktion der Funktion zu bestimmen, muss man den Differentialquotienten
lösen. Dafür gibt man mit Geogebra ein:
Grenzwert(, h , 0)
Auf die gleiche Weise können Sie die Ableitungsfunktion jeder beliebigen anderen Funktion berechnen.
Aufgabe: Die Ableitungsfunktionen der Potenzfunktionen
Berechne mit Geogebra und dem Differentialquotienten die Ableitungsfunktionen (also die Tangentensteigungsfunktionen) der Funktionen: