Regression - Funktionsgleichungen aus Messwerten
Eine Funktion, die ungefähr die Messwerte beschreibt
Das halbe Leben besteht aus Statistik. In allen Lebensbereichen werden Daten und Messwerte erhoben, um vorherzusagen wie etwas weitergeht oder um zu verstehen, wie die gemessenen Größen miteinander zusammenhängen.
In einer zweidimensionalen Statistik werden für einen Messpunkt zwei Daten erhoben. Zum Beispiel kann sich ein Koch dafür interessieren, wie das Gewicht eines Fisches mit seiner Länge zusammenhängt. Daraus lassen sich Gesetztmäßigkeiten ablesen: So sind in der Regel längere Fische schwerer als kürzere.
Für genauere mathematische Analysen wünscht man sich dann oft eine Funktionsgleichungm wie G(L), das Gewicht des Fisches in Abhängigkeit zu seiner Länge.
So eine Funktionsgleichung kann man - wenn man viele Messwerte hat - mit Hilfe einer Regression erhalten.
in den Bildern unten sind drei Beispiele angegeben, für Messwerte und Funktionen, mit denen man diese Messwerte jeweils näherungsweise beschreiben kann:
Eine Regression durchführen, mit Geogebra
Zuerst brauchen wir zweidimensionale Daten, die Messwerte. Diese kann man auf zwei Arten in Geogebra eingeben:
- Direkte Eingabe: Auf "Tabelle" klicken, und die Daten direkt eingeben. In die erste Spalte die Messwerte für die x-Koordinate und in die zweite Spalte die y-Werte.
- Daten importieren: Neben dem x, welches über der ersten spalte steht, finden Sie drei Punkte. Hinter diesen versteckt sich ein Menü, in dem man "Daten importieren" auswählen kann. Dann kommen Sie zu einem Datei-Auswahldialog und können eine Datei im csv-Format importieren. Auch hier sollten in der ersten Spalte die x- und in der zweiten die y-Koordinaten zu finden sein. Diese csv-Dateien können Sie mit jedem Tabellenkalkulationsprogramm erstellen und bearbeiten. Achtung: Sie müssen darauf achten, dass Sie in der csv-Datei Zahlen mit einem Dezimalpunkt angeben und nicht mit einem Komma. Denn nur dann kann Geogebra die Dezimalzahl erkennen.
- Hier kann man sich zuerst die Datenpunkte anzeigen lassen. Das ist eine gute Idee, weil man das Koordinatensystem dann schon einmal so einrichten kann, dass alle Punkte auch zu sehen sind. Außerdem kann man sich an Hand der Punkte überlegen, was für ein Regressionsmodell besonders erfolgreich sein kann, um diese Punkte zu beschreiben. Sehen die Punkte so aus, als würden sie auf einer geraden Linie liegen? Dann wäre eine lineare Regression gut. Beschreiben sie eher eine Parabel? Dann versuchen Sie es mit einer quadratischen Regression usw..
- Der letzte Punkt in diesem Menü heißt "Regression". Wenn Sie auf Regression klicken, dann erscheint ein Dialogfenster, in dem ganz oben das Regressionsmodell ausgewählt werden kann: Linear, quadratisch, kubisch und es gibt noch viele mehr.
- Nach der Auswahl des Regressionsmodells sehen Sie die Funktionsgleichung mit Parametern und die Werte, die Sie für die Parameter einsetzen müssen, um eine gute Näherung für die Messwerte zu erhalten.
- Außerdem werden Zahlenwerte für das "Bestimmtheitsmaß" und den Korrelationskoeffizient angegeben.
Der Korrelationskoeffizient r
Der Korrelationskoeffizient gibt an, ob die gefundene Regressionsfunktion eine gute oder eine schlechtere Näherung für die Messwerte ist.
- Ein negativer Wert für signalisiert, dass der eine Messwert kleiner wird, wenn der andere größer wird.
- Die Näherung ist gut, wenn der Betrag von nahe bei liegt. Wenn eine sehr kleine Zahl ist, also nahe , dann ist die Regressionsfunktion keine gute Näherung für die gegebenen Messwerte.