Introduzione ai logaritmi

Argomento:
Logaritmi
QUANDO L'ESPONENTE NON SI TROVA Nei problemi considerati finora i numeri erano "addomesticati" in modo che alla fine si riuscisse a trovare un esponente che desse il risultato cercato. Ovviamente in un problema reale questo non è sempre possibile, come nel seguente esempio. La mia pagina facebook ha 1250 like, e quando ne avrà 25000 vincerò il premio "reginetto del web". Se ogni mese i like sulla mia pagina triplicano quanto tempo dovrò aspettare? La funzione che permette di calcolare il numero di like dopo mesi è piuttosto semplice da trovare: Impostiamo l'equazione imponendo il valore finale richiesto ed isoliamo la potenza con l'incognita: Notiamo immediatamente che in questo caso NON riusciamo ad esprimere il ed il come potenze della stessa base, dato che il primo è un numero primo e l'altro è . La soluzione del problema è un esponente che applicato al dia come risultato . Come trovarlo? È necessario introdurre il concetto di logaritmo; vediamo l'animazione qui sotto.
In qualche modo abbiamo barato: ci serviva l'esponente che applicato alla base dà come risultato , ma per il momento invece di trovarlo ci siamo accontentati di dargli un nome. Ripercorriamo il ragionamento con più calma. Per quello che abbiamo detto sulla funzione esponenziale questo numero esiste. Ad esempio lo si può trovare partendo da e salendo pian piano: Per il momento però non ci interessa tanto trovare il suo valore esatto quanto poterlo definire in modo semplice e diretto per
  • poterci riferire a questa quantità in modo semplice
  • poterne studiare in modo agevole le proprietà, come svolgere delle operazioni con essa, etc.
DEFINIAMO il numero che applicato come esponente al 3 dà come risultato 20 come il logaritmo in base 3 di 20, e lo rappresentiamo con il simbolo (in modo simile "quel numero che elevato al quadrato dà 2" lo abbiamo chiamato "la radice di 2", ed anche se sappiamo che vale ci riferiamo ad esso e lo studiamo usando il simbolo ) Considerando il caso generale , vale la seguente nomenclatura:
  • è detta BASE del logaritmo
  • è il suo ARGOMENTO
[ovviamente se associamo una lettera al logaritmo per poterci poi riferire ad esso in seguito, per esempio scrivendo , è il LOGARITMO stesso, quindi non ha bisogno di altri nomi particolari.] Ma quanto vale la soluzione del nostro problema? Calcolare un logaritmo qualsiasi è un procedimento piuttosto complesso, come calcolare la radice di un numero qualsiasi, e quindi solitamente lo si fa attraverso la calcolatrice. Nel nostro caso si trova , quindi raggiungerò i 25000 like dopo circa 2 mesi e giorni. FARE CONOSCENZA CON I LOGARITMI Anche se molti logaritmi si ottengono attraverso la calcolatrice, sono elementi molto importanti, bisogna saperli manipolare con disinvoltura ed hanno delle loro proprietà che vanno sapute - fortunatamente sono strette parenti delle proprietà delle potenze, chi se lo sarebbe mai aspettato, dato che un logaritmo è un esponente? Ne riparleremo a tempo debito, ma fin da ora è molto importante imparare a calcolare e riconoscere i più semplici, in modo che il concetto sia ben compreso e saldo. Vediamo alcuni esempi. perché perché Visto da un altro punto di vista Un altro modo per vedere il concetto di logaritmo, e quindi per comprenderlo e farlo proprio, è notare che posso riscrivere qualsiasi numero in questo modo: Apparentemente molto complicata, questa scrittura afferma semplicemente che per ottenere un qualsiasi numero basta elevare una qualsiasi base ... all'esponente che devo dare ad per ottenere ! Questa scrittura mette anche in evidenza il fatto che un logaritmo è un esponente, mentre il suo argomento (in questo caso ) è [il risultato di ] una potenza. Esempi più interessanti Ovviamente è interessante considerare i logaritmi, cioè gli ESPONENTI, un po' particolari legati alle applicazioni delle proprietà delle potenze (inutile dire che le proprietà dei logaritmi e quelle delle potenze sono strettamente collegate); abbiamo quindi che perché perché perché perché e così via. Cose utili da saper fare con i logaritmi... Allo stesso modo è utile saper stimare un logaritmo, ad esempio è un po' più di perché e quindi il ha bisogno di essere moltiplicato "un po' di più" per se stesso per arrivare a . È altrettanto utile saper esprimere un qualsiasi numero come logaritmo in una base a scelta. Ad esempio può essere visto come il logaritmo in base di... , perché . Se invece abbiamo bisogno di esprimerlo in base , diremo che è il logaritmo di , dato che (La scelta della base dipenderà dal problema che avremo di fronte di volta in volta). La regola di cambio base L'altra applicazione necessaria è la regola del cambio base, perché alcune calcolatrici forniscono i logaritmi solo in due basi principali [/b]
  • in base 10 (quando non si scrive la base è sottinteso che valga 10)
  • in base - si tratta di un numero irrazionale che vale circa e che ha importanti proprietà, similmente al . Il logaritmo in base si dice logaritmo naturale ed ha simbolo
Se abbiamo bisogno di un logaritmo in base diversa, come nel nostro problema in cui cercavamo , dobbiamo prima cambiargli la base. Vale la seguente equivalenza, che approfondiremo più tardi quando studieremo a fondo i logaritmi: [b]Se abbiamo un logaritmo in una base e lo vogliamo esprimere usando una nuova base qualsiasi , basta calcolare il rapporto tra due logaritmi nella nuova base, a numeratore con l'argomento originale ed a numeratore con argomento la vecchia base . Ad esempio volendo esprimere in base dovremo calcolare: In attesa di dimostrare questa regola, possiamo vedere che funziona applicandola in casi particolarmente semplici in cui passiamo tra basi che sono legate da una potenza. Ad esempio possiamo verificare il valore di passando dal logaritmo di in base :