Triangle maximum entre deux triangles équilatéraux

Optimisation d'aires autour des deux triangles équilatéraux mobiles
Soit [AB] un segment de longueur 1 et soit C un point de [AB] distinct de A et B.[br]On construit, du même côté du segment [AB], les triangles équilatéraux ACM et CBN.[br][br]Existe-t-il une position du point C telle que le triangle CMN ait une aire maximale ?
Soit C’, M’ et N’ les milieux du triangle équilatéral ABD.[br]Le triangle C’M’N’ a une aire maximale.[br][br][i]Démonstration[/i][br][br]Pour montrer que l'aire de CMN est inférieure à l'aire de C’M’N’, comparer l'aire de DMN et celle de DM’N’.[br]À une symétrie près, par rapport à la médiatrice de [AB], choisir le point C sur [AC’] où C’ est le milieu de [AB].[br][br]La symétrie de centre I, milieu du parallélogramme MCND, transforme le triangle CMN en DNM, triangles de même aire.[br]Le point M’, situé sur le côté [DM], a pour symétrique M1, intersection de (M’N’) et de (CM).[br]Le triangle IMM’a pour symétrique [math]INM_1[/math], triangles de même aire.[br][br]Le triangle DMN a donc même aire que le quadrilatère DM’M_1N. En ajoutant, à cette surface, le triangle équilatéral [math]NM_1N’[/math], de côté de longueur | 1/2 – x |, on obtient le triangle DM’N’.[br]Les triangles C’M’N’ et DM’N’, symétriques par rapport à (M’N’) ont même aire.[br][br]L'aire de CMN est égale à l'aire de C’M’N’ diminuée de l'aire du triangle équilatéral [math]NM_1N’[/math]. L'aire de ce triangle équilatéral est minimale lorsque N et N’ sont confondus. L'aire du triangle CMN est alors maximale pour x = 1/2 , C est en C’.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/JnkFawA5]Preuve synthétique par la méthode des aires[/url]. [br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://debart.pagesperso-orange.fr/college/lieux_geometriques.html#ch2b]Lieux géométriques[/url] au collège

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