Differentialrechnung - Wendepunktbedingungen

Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kannst du mittels einer vorgegebenen Funktion f(x) erarbeiten, wie du zu den Wendepunkten dieser Funktion mit Hilfe der Differentialrechnung kommen kannst. Für die Existenz von Wendepunkten gibt es klare Bedingungen, die du dir mit diesem Arbeitsblatt erarbeiten kannst. Die zu der Funktion zugehörigen Ableitungsfunktionen , und und die Tangenten an und werden als Graphen ebenfalls dargestellt. Die Zusammenhänge zwischen , , und werden sichtbar.
Vorüberlegung Die Funktion wird als Graph (schwarz) dargestellt. Auf dem Graphen ist der Punkt P beweglich und verschiebbar. Bewege ihn hin und her. Mit dem Punkt P wird eine Vertikale (orange gestrichelt) angezeigt. Überlege dir mit dem sicheren Gefühl und dem Wissen aus den vorangegangenen Aufgaben, an welchen Stellen x die Funktion Extrema als auch Wendepunkte haben könnte. Notiere dir zur Kontrolle die Abszissenwerte dieser Punkte.
    • Blende jetzt die Extrema als auch die Wendepunkte von ein. Sie werden mit (Extrempunkt 1 der Funktion ) und mit ( Wendepunkt i der Funktion ) angezeigt.
    • Hast du die Lage und die Anzahl der Extrema und Wendepunkte richtig eingeschätzt?
    • Welcher Krümmungswechsel liegt bei den Wendepunkten vor?
  1. Blende nun die erste Ableitung ein. Gibt es bei der Betrachtung der Graphen optisch erkennbare Zusammenhänge zwischen den Nullstellen und Extrema der ersten Ableitung und den Extrema und Wendepunkten der Funktion ?
    • Die Extrema einer Funktion lassen sich besser lokalisieren, wenn die Tangente zur Verfügung steht. Blende nun die Tangente an die 1. Ableitung (blau gestrichelt in Punkt ) ein und steuere mit dem Punkt P diese Tangente in die Horizontalpositionen mit der Steigung von Null. Dort sollten die Extrema der 1. Ableitung liegen.
    • Haben diese Stellen etwas mit den Wendepunkten gemeinsam?
    • Gibt es noch andere Stellen mit der Steigung Null? Wie heißt dieser Punkt?
  2. Jetzt wollen wir die Extrema der 1. Ableitung sehen. Sie werden mit ( Extrema j der 1. Ableitung) angezeigt. Und siehe da, es gibt Übereinstimmung zwischen den Extremstellen der 1. Ableitung und den Wendestellen der Funktion . Was als Bedingung für Extrema der Funktion gilt, das gilt auch für Extrema der 1. Ableitung dieser Funktion. Die Ableitung der jeweiligen Funktion ist gleich Null zu setzen, das war eine notwendige Bedingung. Wenn aber die Ableitung der Ableitung einer Funktion gleich Null zu setzen ist, dann wird die 2. Ableitung dieser Funktion gleich Null zu setzen sein. Dann geht es also um die Nullstellen der 2. Ableitung der Funktion .
    • Blende dir jetzt die 2. Ableitung ein und schaue dir die Nullstellen der 2. Ableitung an. Tatsächlich fallen Nullstellen der 2. Ableitung mit den Extrema der 1. Ableitung und den Wendepunkten von zusammen.
    • Wieviel Nullstellen siehst du?
    • Wo liegen diese?
    • Gibt es Nullstellen der 2. Ableitung, die nicht zu Extrema der 1. Ableitung korrespondieren? Wie heißen diese Punkte?
    • Blende dir die Nullstellen der 2. Ableitung ein. Diese werden mit ( Nullstelle k der 2. Ableitung) angezeigt.
    • Überprüfe die Richtigkeit deiner Einschätzung mit den Nullstellen.
    • Gibt es Nullstellen der 2. Ableitung, die nicht zu den Wendepunkten von korrespondieren?
    • Wie heißt dieser Punkt?
    • Sind Nullstellen der 2. Ableitung also eine "notwendige" oder "hinreichende" Bedingung für die Existenz von Wendepunkten von ?
  3. Überprüfe jetzt, ob die Klärung eines eindeutigen Sachverhaltes zu Wendepunkten von mit der 3. Ableitung zu machen ist. Da die 3. Ableitung die Steigung der Funktion der 2. Ableitung beschreibt, solltest du dir jetzt die Tangente an die 2. Ableitung anschauen.
    • Blende diese ein (grün gestrichelt in Punkt ) und fahre mit dem Punkt P die Wendestellen der Funktion an.
    • Welche Steigung (positiv oder negativ) hat die Tangente an die 2. Ableitung?
    • Welches Krümmungsverhalten der Wendepunkte von liegt vor, wenn die Steigung der Tangente an die 2. Ableitung positiv bzw. negativ ist? Notiere dir diesen Zusammenhang.
    • Gibt es eine Steigung Null dieser Tangente?
  4. Da die Steigung der Tangente an die 2. Ableitung mit der 3. Ableitung zu haben ist, solltest du diese jetzt einblenden. Die Funktionswerte von repräsentieren dir die Steigungen der Tangente an die 2. Ableitung.
    • Fahre mit dem Punkt P in die Wendepunkte von . Wie sieht das Vorzeichen für diese Funktionswerte in diesen Wendepunkten aus?
    • Wo liegen die Nullstellen der 3. Ableitung?
    • Wie korrespondieren die Nullstellen der 3. Ableitung mit den Nullstellen der 2. Ableitung?
  5. Nun sollte zu Wendepunkten alles klar sein. Um dies am Schluss nochmals zu testen, blende nunmehr die Wendepunkte der 1. Ableitung ein. Vergleich diese Stellen mit den Nullstellen der 3. Ableitung. Was stellst Du fest?
  6. Fazit
    • In den Wendepunkten der Funktion hat die 2. Ableitung von den Wert gleich Null. Bedingung für Wendepunkte: Wenn wir diese Gleichung nach x auflösen, dann erhalten wir die Wendestellen xW für die Funktion f(x), an denen Wendepunkte auftreten können.
    • Diese Bedingung ist aber keine "hinreichende" Bedingung, sondern nur eine "notwendige" Bedingung, da es neben den Extrema auch Sattelpunkte für die 1. Ableitung gibt, für die diese Bedingung auch zutrifft. Die Bedingung für die Existenz von Wendepunkten ist eine "notwendige", aber keine "hinreichende" Bedingung.
    • Wendepunkte einer Funktion korrespondieren zu den Extrema ihrer 1. Ableitung . Ein Links-Rechts-Wendepunkt von hat mit dem Maximum von eine gemeinsame Stelle, ein Rechts-Links-Wendepunkt von hat dies mit dem Minimum von gemeinsam.
    • An Links-Rechts-Wendestellen ist die 3. Ableitung von negativ, an Rechts-Links-Wendestellen positiv.
    • An Sattelpunkten der 1. Ableitung ist ebenfalls ( gleich Null. Diese führen aber nicht zu Wendepunkten von . An diesen Stellen ist die 3. Ableitung gleich Null. Daraus können wir das "hinreichende" Kriterium für die Existenz von Wendepunkten ableiten, in dem wir diese Sattelpunkte ausschließen: Bedingung (hinreichend) für Wendepunkte:
    • Um bei Wendepunkten zwischen Links-Rechts-Wendepunkten und Rechts-Links-Wendepunkten zu unterscheiden, können wir folgenden Sachverhalt festhalten: Links-Rechts-Wendepunkt Rechts-Links-Wendepunkt