8.1 Introducción

Por sí mismos, los números m y n proporcionan una representación incompleta del verdadero tamaño de un sistema lineal. La matriz de nuestro ejemplo tenía tres renglones y cuatro columnas, aunque el tercer renglón era sólo una combinación de los dos primeros. Después de la eliminación se convirtió en un renglón cero. No afectó el problema homogéneo . Las cuatro columnas también fracasaron en cuanto a ser independientes, y el espacio columna degeneró en un plano bidimensional. El número importante que está comenzando a surgir (el tamaño verdadero) es el rango r. El rango se introdujo como el número de pivotes en el proceso de eliminación. De manera equivalente, la matriz final U tiene r renglones diferentes de cero. Esta definición hubiera podido proporcionarse a una computadora, aunque sería erróneo ahí, porque el rango posee un significado simple e intuitivo: El rango cuenta el número de renglones realmente independientes en la matriz A. Lo que se busca son definiciones matemáticas, más que computacionales. El objetivo de esta sección es explicar y usar cuatro conceptos: 1. Independencia o dependencia lineal. 2. Generación de un subespacio. 3. Base de un subespacio (un conjunto de vectores). 4. Dimensión de un subespacio (un número). El paso es definir lineal. Dado un conjunto de vectores v 1, .. , vk, se buscan sus combinaciones c1v 1 + c2v2 + · · · + ckvk. La combinación trivial, con todos los pesos c1 = O, evidentemente produce el vector cero: Ov 1 + · · · + Ovk = O. La pregunta es si ésta es la única forma de producir cero. En caso afirmativo, los vectores son independientes. Si con cualquier otra combinación de los vectores se obtiene cero, entonces son dependientes.

La dependencia lineal es fácil de visualizar en el espacio tridimensional, cuando todos los vectores salen del origen. Dos vectores son dependientes si están en la misma recta. Tres vectores son dependientes si están en el mismo plano. Una elección aleatoria de tres vectores, sin ningún accidente especial, debe producir independencia lineal (no están en un plano). Cuatro vectores siempre son linealmente dependientes en R3 .