Diseñando una repisa

Objetivo de la actividad:

Diseñar una repisa con estantes paralelos en un entorno tridimensional utilizando GeoGebra 3D, analizando relaciones de proporcionalidad.

Situación problemática:

Debes diseñar una repisa usando estantes de madera paralelos con un diseño moderno y tridimensional. Los estantes de madera serán planos paralelos entre sí y estarán sostenidos por dos barras metálicas de soporte que cruzarán el espacio en diferentes ángulos. Tu misión es a asegurar que los niveles de la repisa queden distribuidos de manera proporcional, sin importar la inclinación de los soportes metálicos.

1) Predicciones

Antes de abrir GeoGebra, responde las siguientes preguntas basándote en tu intuición y conocimientos previos

Pregunta 1.1

Si medimos la distancia entre los estantes a lo largo del soporte izquierdo y luego a lo largo del soporte derecho, ¿serán iguales las longitudes de los segmentos resultantes? Explica por qué.

Pregunta 1.2

Aunque las medidas de los segmentos sean diferentes en cada soporte, ¿crees que existirá alguna relación entre las distancias de los estantes? Plantea una conjetura.

2) Bosquejo de la repisa:

En una hoja de papel, realiza un dibujo (en perspectiva o de perfil) que represente la repisa:

Dibuja tres planos horizontales paralelos que representen los estantes.
Traza dos rectas que crucen estos planos en diagonal (soportes).
Nombra los puntos de intersección del un soporte con los estantes como A, B y C; y los del otro soporte como D, E y F.

3) Construcción Dinámica

Ubícate en la aplicación GeoGebra 3D y sigue estos pasos de construcción:

Define tres planos paralelos. Utiliza la herramienta Plano Paralelo para trazar tres planos paralelos al plano xy a alturas diferentes (P₁, P₂, P₃).
Utiliza la herramienta Recta para trazar dos rectas secantes cualesquiera (R₁, R₂), que atraviesen los tres planos. Asegúrate de que las rectas tengan inclinaciones notoriamente distintas.
Utiliza la herramienta Intersección para marcar los puntos donde la recta R₁ corta a los planos P₁, P₂, P₃ (nómbralos A, B, C respectivamente). Haz lo mismo para la recta R₂ con los planos (nómbralos D, E, F).
Con la herramienta Distancia o Longitud, mide los segmentos determinados en los soportes: AB, BC, DE y EF.
En la barra de entrada, crea dos variables para calcular las razones: razon1 = AB / BC y razon2 = DE / EF.

Pregunta 3.1

Observa los valores de razon1 y razon2 en GeoGebra. ¿Qué relación matemática hay entre ellos?

Pregunta 3.2

¿Coincide este resultado con la predicción que formulaste en la Pregunta 1.2? Si tu predicción fue diferente, ¿qué crees que causó el error en tu intuición inicial?

4) Exploración dinámica

Haz clic sobre uno de los puntos que definen la dirección de la recta R₁ y arrástralo lentamente en distintas direcciones del espacio 3D (puedes rotarla, inclinarla o alejarla). Observa con atención cómo cambian las medidas en la pantalla. Haz lo mismo con la recta R₂.

Pregunta 4.1

Al mover las rectas, ¿qué ocurre con las longitudes individuales de los segmentos AB, BC, DE y EF? ¿Permanecen constantes o cambian?

Pregunta 4.2

¿Qué sucede con los valores de las razones razon1 y razon2 mientras realizas el movimiento? ¿Depende de cuán inclinados estén los soportes metálicos?

Pregunta 4.3

Describe con tus palabras si el movimiento de las rectas en el espacio afecta o no la proporcionalidad de los segmentos cortados por planos paralelos.

5) Explicación matemática

Analiza la estructura de lo que construiste respondiendo el siguiente desafío.

Pregunta 5.1

Imagina que mides la distancia vertical (completamente vertical de arriba a abajo) entre el estante P₁ y el estante P₂. Luego haces lo mismo en el otro extremo de la repisa. ¿Esas distancias son iguales o cambian? ¿Qué hecho garantiza esto?

Pregunta 5.2

Mide la distancia anterior (llámala H₁) y también la distancia entre los estantes P₂ y P₃ (llámala H₂) y calcula la razón H₁/H₂. Pon tu atención en el primer soporte metálico (R₁). Explica por qué la razón entre los segmentos inclinados AB/BC tiene que ser exactamente igual a la razón de las alturas verticales H₁/H₂.

Pregunta 5.3

Ahora, fíjate en lo que sucede en el otro soporte metálico (R₂). ¿La razón H₁/H₂se mantiene constante o debería cambiar?

Pregunta 5.4

¿Las razones DE/EF y H₁/H₂deberían ser iguales o no? Explica la razón.

Pregunta 5.5

Si se cumple AB/BC =H₁/H₂ y DE/EF = H₁/H₂. ¿Qué puedes concluir sobre la relación entre AB/BC y DE/EF? Escríbela utilizando exclusivamente lenguaje matemático detallando cada definición, propiedad o teorema que utilizaste para justificar tu respuesta.

Pregunta 5.6

¿Qué condición(es) debería(n) cumplirse para que podamos establecer la relación anterior?

6) Diseño final:

Para terminar de armar la repisa real, ha cortado los segmentos del soporte izquierdo (R₁) con las siguientes medidas fijas: AB = 30 cm y BC = 45 cm. Por razones estéticas, en el soporte derecho (R₂), el primer estante debe quedar a una distancia de DE = 40 cm.

Pregunta 6.1

Determina la medida del segmento que une el segundo y el último estante en el soporte derecho. Comprueba tu cálculo final con la herramienta de medición de GeoGebra.