Teorema tangenti e normali alla parabola
Dati una tangente ed una normale, e le loro intersezioni con l'asse della parabola, il loro punto medio risulteà essere il fuoco stesso.
IPOTESI: Consideriamo una parabola generica di equazione y=a(x)^2,
F(0;1/4a) è il fuoco dellaparabola e P un punto generico su essa,
A l'intersezione tra la tangente alla parabola, passante per P, e l'asse della parabola stessa,
mentre B è l'intersezione tra la normale, passante per P, e l'asse della parabola.
TESI: Il punto medio del
segmento AB corrisponde al fuoco della parabola, che quindi è
equidistante dagli estremi.
DIMOSTRAZIONE
-l’equazione della tangente generica è y=2ax0x-a(x0)^2,
il punto A ha quindi coordinate (0;-(ax0)^2)
-l’equazione della normale è y=(-1/2ax0) x +1/2a+a(x0)^2,
quindi B ha coordinate (0;1/2a+a(x0)^2)
-calcoliamo ora il punto medio del segmento AB:
1/2(1/2a+a(x0)^2-a(x0)^2)=1/4a
(ordinata del fuoco)
CONCLUSIONE
I due punti di intersezione, con l’asse
della parabola , della tangente e della rispettiva normale, sono
equidistanti dal fuoco.