Homotetija
Homotetija je preslikavanje koje nije izometrija - zadane skupove točaka preslikava u skupove točaka istog oblika ali u drugom mjerilu.
Definirajmo homotetiju:
- Neka su zadane 2 paralelne ravnine:
- Točka S koja ne leži na njima:
- Točke:
- Svakoj točki ravnine pridružimo točku ravnine kao presjek ravnine pravcem SA (SB, SC)
Vježba 1
Homotetija kao preslikavanje u prostoru (a ne s ravnine na ravninu kao u Vježbi 1):
Neka je homotetija zadana točkom S i koeficijentom k.
Predznak koeficijenta k nam govori o položaju točaka A i A1 u odnosu na središte homotetije:
- k>0 točke A i A1 su na istom polupravcu određenom s početnom točkom S
- k<0 točke A i A1 su na različitim polupravcima određenim s početnom točkom S.
- O kakvom se preslikavanju radi ako je k=-1?
- Što dobijemo kao sliku za k=1?
- Kakvi su dobiveni likovi za |k|<1?
- Po čemu se vidi da ovo preslikavanje nije izometrija?
- Što se događa s udaljenostima između točaka ako je |k|>1?
Vježba 2
Pažljivim promatranjem dobili smo odgovore na pitanja:
- k=-1 Centralna simetrija sa središtem simetrije u točki S
- k=1 Identično preslikavanje (Preslikava se u samu sebe)
- |k|<1 likovi se sažimaju, tj.
- Homotetija nije izometrija jer ne čuva udaljenosti (osim za ),
- |k|>1 udaljenosti se povećavaju, tj.
Definirajmo konačno homotetiju u prostoru:
Neka je S istaknuta točka u prostoru (središte homotetije).
Homotetija je preslikavanje koje točki A pridružuje točku A1 takvu da vrijedi:
- točke S, A i A1 su kolinearne
- |SA1|=|k| |SA|
- za k > 0 točke A i A1 leže na istom polupravcu određenom točkom S
- za k < 0 točke A i A1 leže na različitim polupravcima