Vektoren als Weg und Richtung
In Kapitel 1 hast du gelernt, dass Punkte feste Stellen im Raum sind.
Bei Vektoren sieht es ganz anders aus! Einen Vektor kannst du dir wie eine Richtungsangabe vorstellen! Der Vektor beschreibt, wie weit in Richtung in x, y und z gegangen wird! Im Gegensatz zu Punkten werden Vektoren vertikal geschrieben und mit Kleinbuchstaben benannt, oder mit zwei Großbuchstaben nach den zwei Punkten, deren Richtung sie angeben.
Um zu kennzeichnen, dass es sich um einen Vektor handelt, schreibt man einen kleinen Pfeil darüber!
oder , wobei oben die Verschiebung in x-Richtung steht und unten die in y-Richtung!
Im dreidimensionalen geht das genauso:
oder auch
Der Einfachheit halber sind die folgenden Applets in 2D, Vektoren zeichnen in 3D geht aber analog! Du musst nur die Sachen beachten, die du bei Zeichnen von Punkten im Raum gelernt hast!
Differenzvektoren bestimmen
Differenzvektoren bestimmen
Um die Richtung zwischen den Punkten A und B zu bestimmen, musst du berechnen, wie viel in x-Richtung und wie viel in y-Richtung verschoben wird.
Gegeben sind die Punkte A(a1|a2) und B(b1|b2). Dann lässt sich die Richtung bestimmen durch:
. ist der sogenannte Differenzvektor von A nach B.
Im dreidimensionalen gilt analog:
Beachte: Wenn die Richtung von A nach B geht, dann müssen die Koordinaten von B zuerst stehen, sonst ist der Pfeil verkehrt herum!
Anders als der feste Punkt A ist ein Vektor nicht eindeutig! Da er nur eine Richtung / Verschiebung beschreibt, kann er beliebig im Raum liegen. So ähnlich als würdest du immer nach Süden gehen, aber an anderen Punkten starten! Einzig die Richtung und Länge des Vektors bleibt gleich! Nutze die Animation unten, um den Vektor zu verschieben!
Beispiel eines dreidimensionalen Vektors: Bewege das Koordinatensystem hin und her, um die 3D Ansicht zu verstehen
Ortsvektor
Der Ortsvektor eines Punktes ist ein besonderer Differenzvektor. Er gibt die Richtung vom Ursprung O(0|0) zum Punkt A(a1|a2) an. Um ihn aufzustellen, musst du einfach nur die Koordinaten von A als Spalte schreiben.
Der Ortsvektor eines Punktes A wird mit bezeichnet.
Der Ortsvektor ist der EINZIGE Vektor, der festgelegt ist! Er beginnt immer im Ursprung. Alle anderen Vektoren können beliebig im Raum liegen.
Im dreidimensionalen wieder genauso:
Wenn der Punkt A die Koordinaten hat, so ist der Ortsvektor dazu:
Ortsvektor aufstellen - Bewege Punkt A und beobachte was passiert!
Gegenvektor
Der Gegenvektor eines Vektors ist im Prinzip die Rückrichtung. So ähnlich, als wäre dein Hinweg zur Schule und der Rückweg nach Hause. Die Koordinaten von sind genau umgedreht zu .
Es gilt: oder auch .
z.B.
Darstellung Gegenvektor
Vektoren addieren
Zwei Vektoren addierst du, indem du sie einfach aneinander hängst! Der Ergebnisvektor ist dann der Gesamtweg vom ersten Anfangspunkt bis zum Endpunkt des zweiten Vektors!
Wenn du sie rechnerisch addieren willst, dann machst du das einfach, indem du die Vektoren komponentenweise addierst, also jede Zeile für sich!
Allgemein gilt: .
Zahlenbeispiel: Wenn und , dann ergibt sich der Gesamtvektor zu !