Das LIE-Produkt
Zwei Möbiustransformationen sind nur dann vertauschbar (kommutativ), wenn sie dieselben Pole, d.h. Fixpunkte besitzen:
zwei parabolische Schiebungen mit demselben Fixpunkt, bzw. zwei Drehstreckungen mit denselben Zentren.
Wir werden zeigen, dass die Vektoren aus die infinitesimalen Erzeugenden für Möbiusbewegungen sind. Diese Bewegungen sind nur vertauschbar, wenn das Lie-Produkt ergibt.
Wir wollen vorsichtig vermuten, dass das Lie-Produkt ein Mass für die Vertauschbarkeit von Abbildungen darstellt.
Und uns scheint das Lie-Produkt eine "symmetrisierende" Wirkung zu besitzen.
Im obigen Applet sind zwei Punkte-Paare und vorgegeben und bewegbar!
Im Geradenraum werden die Möbiuspunkte durch Berührgeradenvektoren repräsentiert. Deren LIE-Produkte und repräsentieren bei geeigneter komplexer Normierung die Verbindungsgeraden. Das LIE-Produkt ist "senkrecht zu" und , dies folgt aus der allgemein gültigen Regel , also trennen die Pole von die Pole des Geradenvektors und die Pole von harmonisch. Im Applet werden die Pole und von berechnet. Die vier Punkte und die vier Punkte liegen auf einem Kreis, die harmonische Lage ist zu erahnen.
Im Applet sind darüberhinaus die Pole von mit und berechnet.
trennen sowohl als auch harmonisch.
Auf die gleiche Weise berechnet findet man die Punkte , welche die Punktepaare und harmonisch trennen.
Die symmetrisierende Wirkung des LIE-Produkts ist hier daran zu erkennen, dass die sechs Punkte die Schnittpunkte von drei paarweise orthogonalen Kreisen sind.
Auf der nächsten Seite zeigen wir, dass die Pole symmetrisch auf Winkelhalbierenden liegen.
Zur Berechnung in Ge
Gebra: Die Berechnungen für das obige Applet beruhen auf zwei einfachen Rechenschritten:
Gebra: Die Berechnungen für das obige Applet beruhen auf zwei einfachen Rechenschritten:
- Kreuzprodukt zweier komplexer Vektoren
- und der Lösung komplexer quadratischen Gleichungen.