Vom Winkelmaß zum Bogenmaß mit Sinus und Kosinus
- Autor:
- Andreas Brinken
Verschiebe das braune Kreuz auf der x-Achse mit der Maus.
Grundwissen 1: Umrechnung Bogenmaß-Winkelmaß
Starte mit der folgenden Verhältnisgleichung - sie beschreibt die Gleichheit der Winkelanteile am Vollkreis:
.
Diese Gleichung kannst du leicht nach auflösen: . Mit dieser Formel kannst du einen Winkel vom Bogenmaß schnell in das Gradmaß umrechnen.
Ist der Winkel nur im Gradmaß bekannt, folgt für den Winkel im Bogenmaß: .
Tipp:
In vielen Fällen erledigst du die Umrechnung elegant und ganz ohne Formel mithilfe von Anteilen am Vollkreis oder Anteilen am Halbkreis.
So ist zum Beispiel ein 45°-Winkel genau ein Viertel vom Halbkreis. Damit entspricht dem Winkel der Bogenmaß-Winkel (im Bogenmaß besitzt ein Halbkreis exakt den Wert ).
Grundwissen 2: Die Definitionserweiterung für den Sinus und den Kosinus am Einheitskreis für beliebige Winkel - auch negative
Für die Definitionserweiterung benötigen wir drei Dinge:
- Ein Achsenkreuz (mit x- und y-Achse).
- Einen Einheitskreis (mit Radius 1), dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt.
- Einen Punkt auf dem Einheitskreis.
x-Wert von P y-Wert von P
Für Winkel zwischen 0° und 90° (bzw. zwischen 0 und ) findest du zu jedem Winkel ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge 1, sodass die alten Definitionen am Dreieck mit in die neue Definition eingebettet sind. Grundwissen 3: Zeichnen des Schaubildes der Sinus- und der Kosinusfunktion Schau dir die unten verlinkte Animation an und führe die einzelnen Schritte auf kariertem Papier selbstständig durch. Achte auf die geschickte Beschriftung der x-Achse: Wähle für eine Kästchenbreite den Wert bzw. für drei Kästchenbreiten den Wert . Dann benötigst du für eine Periode genau 12 Kästchen. So zeichnest du das Schaubild der Sinusfunktion einfach, schnell und sauber. Eine Herausforderung für Mathe-Cracks: Was passiert mit dem Schaubild der auf die obige Weise definierten Sinusfunktion, wenn man den Einheitskreis- aus dem Ursprung zu einem neuen Mittelpunkt M(a,b) verschiebt
- und zusätzlich seinen Radius von 1 auf einen anderen positiven Wert verändert.
- Wie müsste man eine Streckung des Schaubildes der Sinusfunktion mithilfe der y-Koordinate eines Kreispunktes im Koordinatensystem beschreiben?