Polynome und deren Ableitungen

Aus der Schule wissen wir, dass das Weg-Zeit-Gesetz () der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ein quadratischer Zusammenhang zwischen Zeit und Weg ist, sich also durch ein Polynom zweiten Grades beschreiben lässt. Sind Ort , Anfangsgeschwindigkeit und die Beschleunigung , also Funktionswert, erste und zweite Ableitung für bekannt, so kennt man die Bewegung vollständig für jede Zeit . Das ist anschaulich auch klar: Bei einem senkrechten Wurf bestimmen Abwurfhöhe und -geschwindigkeit, wann sich der Körper in welcher Höhe befindet. Die Beschleunigung ist durch die Gravitation der Erde gegeben. Nun kann man sich die Frage stellen, ob sich auch Polynome höheren Grades aus ihren Ableitungen an der Stelle null oder einer anderen Stelle vollständig bestimmen lassen. Mit der Antwort auf diese Frage werden wir uns hier beschäftigen und damit den Begriff der Taylor-Reihen vorbereiten.

Im Applet ist der maximal mögliche Grad des Polynoms 5. Schauen wir uns daher einmal allgemein seine Ableitungen an der Stelle an:

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Ganz rechts finden wir einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Ableitungen: Die n-te Ableitung ist mit durch das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen ohne 0 verknüpft. Sie kennen vielleicht schon die Fakultät als Ausdruck für das Produkt der ersten n Zahlen. Man definiert (sprich: "n Fakultät"). Für die Fakultät gilt zudem . So können wir für Polynome n-ten Grades schlicht die Beziehung für alle schreiben. Jetzt steht ja noch die Frage im Raum, ob sich ein Polynom allein aus der Kenntnis seiner Ableitungen konstruieren lässt. Seien also alle n Ableitungen einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades bekannt. Wir können nun ihre Koeffizienten mit berechnen. Die Funktion selbst ist dann

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Wir haben gezeigt, dass sich jedes Polynom damit vollständig aus seinen Ableitungen bei bestimmen lässt. Im Applet habe ich auf der linken Seite in einigen Zeilen eine Übersicht dargestellt: Oberhalb der ersten Linie finden Sie den Funktionsterm. Darunter finden Sie alle Ableitungen an der Stelle null bis zum höchsten mit dem Schieberegler ausgewählten Grad. Darunter wird das Polynom dann wieder rekonstruiert. Das kann auch nur teilweise geschehen. Verändern Sie dazu den Schieberegler. Sie werden sehen, dass mit wachsendem n die Graphen der Rekonstruktion immer besser mit dem Ausgangsgraphen übereinstimmen. Für liegt dann schließlich das Ausgangspolynom wieder vor. Den Gedanken des Annäherns werden wir bei den Taylor-Reihen wieder gebrauchen. Folgendes ist noch anzumerken: Für erhalten wir die Tangente an den Graphen. Man spricht dann von der ersten Näherung der Funktion.