Newtonverfahren zur Renditeberechnung

Thema:
Analysis
Problembeschreibung: Bei periodisch (hier jährlich) konstanten Zahlungen (Raten bzw. Renten) am Ende des Jahres (nachschüssig) mit gegebenem Endwert (Rentenendwert) über einen Zeitraum von Jahren ist der Zinssatz p gesucht. Beispiele:
  • Du hast einen Aktien-Investmentfond eingerichtet. In diesen zahlt dein Arbeitgeber vermögenswirksame Leistungen ein. Außerdem kommen Leistungen des Staates hinzu, der das VL-Sparen fördert. Am Ender der Laufzeit steht Dir damit ein ansehnlicher Betrag zur freien Verfügung, der jedoch in seiner Höhe von den Aktienkursen bei der Einzahlung als auch bei der Auszahlung abhängt. Du hast jedoch ein Problem bei der Auswahl des Fonds. Info-Prospekte versprechen dir auf Grund vergangener Phasen einen schönen runden Auszahlungsbetrag. Einziger Vergleichsmaßstab ist jedoch, wie gut die Fondsmanager wirklich gearbeitet haben, d.h. mit welcher Rendite (Effektivverzinsung) p wurden die Einzahlungen bisher angelegt?
  • Eine Bank verspricht dir beim Ratensparen neben den periodischen Einzahlungen zusätzlich Bonuszahlungen während der Laufzeit und am Ende der Laufzeit wiederum einen schön aussehenden runden Betrag. Einziger Vergleichsmaßstab ist jedoch, wie gut die Banken die Einzahlungen verzinsen, d.h. mit welcher Rendite (Effektivverzinsung) p werden die Einzahlungen wirklich angelegt? Worin besteht aber nun das Problem? Nun sagst du, dass es dafür Formeln geben muss. Richtig. Schaue ins Arbeitsblatt, da gibt es eine Rentenformel für jährlich, nachschüssige Zahlungen. Versuche diese nach q, dem Verzinsungsfaktor, umzustellen. Für habe ich das noch nicht geschafft. Schaffst du es? Solange du die analytische Lösung hierfür noch nicht gefunden hast, kannst du wenigstens die Lösung mit einem Iterationsverfahren näherungsweise berechnen. Das Newtonsche Näherungsverfahren ist hierbei recht hilfreich. Ziele: In diesem interaktiven Arbeitsblatt lernst du das Newtonsche Näherungsverfahren näher kennen. Es lässt sich gut mit der analytischen Tangentengleichung erklären, wobei die Tangente in einem Punkt des Graphen einer Funktion mittels der ersten Ableitung dieser Funktion in diesem Punkt bestimmt werden kann. Da du aus der Rentenformel die Funktion und deren erste Ableitung bestimmen kannst, dürfte nun die näherungsweise Berechnung der Rendite (Effektivzinssatz) für dich kein Problem mehr sein.
Aufgaben:
  1. Rentenformel, und
    • Versuche die Rentenformel nach q (Verzinsungsfaktor) umzustellen. Stelle auch die Formel nach p (Zinssatz in % p.a.) um, die den Zusammenhang zwischen p und q beschreibt. Wenn du q berechnen kannst, dann hast du auch p.
    • Stelle die Rentenformel so um, dass du die Funktion f(q) (s. Arbeitsblatt) erhältst.
    • Wenn ist, dann ergibt sich umgekehrt wiederum die Rentenformel. heißt aber, dass die Nullstellen dieser Funktion gesucht sind, d.h. es werden diejenigen q gesucht, die Null werden lassen. Was passiert, wenn du in setzt? Welchem Zinssatz p entspricht einem ?
    • Bilde die erste Ableitung durch Anwendung der Ableitungsregeln.
  2. Tangentengleichung
    • Ich denke der Ansatz für die Tangentengleichung im Arbeitsblatt ist bekannt. Wenn nicht, dann schaue auf das Arbeitsblatt. Die Tangente bildet im Ausgangspunkt A bzw. im Punkt ein schönes rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten , A und . und liegen auf der x-Achse. Die Steigung der Tangente ergibt sich wie immer aus dem Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete dieses (Steigungs-)Dreiecks. Die Gegenkathete hat die Länge , die Ankathete die Länge (), die Steigung der Tangente lässt sich mit beschreiben. Somit ergibt sich: .
  3. Newtonsches Näherungsverfahren
    • Stelle diesen Ansatz nach um.
    • Der Punkt stellt offensichtlich die Nullstelle der Tangente in dar. Wenn du diesen Punkt erneut zum Ausgangspunkt einer Tangentenkonstrruktion in machst, dann besteht die Chance, dass diese immer wieder sich neu ergebenden Punkte so langsam in Richtung Nullstelle der Funktion marschieren. Ersetze also den Index 0 durch den Index i und den Index 1 durch den Index . Dann erhältst Du die allgemeine Iterationsvorschrift für das Newtonsche Näherungsverfahren. Für ergibt sich aus ein neues und damit ein Wert, der sich der Nullstelle von schon besser annähert.
    • Setze in die Iterationsvorschrift für f(x) und f'(x) die konkreten Funktionsgleichungen für f(q) und f'(q) ein und versuche, die Iterationsvorschrift zu vereinfachen.
  4. Arbeitsblatt ausprobieren
    • Das A und O für das Newtonsche Näherungsverfahren besteht zunächst darin, einen geeigneten Ausgangspunkt für die Iterationen zu finden. Der Ausgangspunkt A (blau) auf dem Graphen der Funktion lässt sich leicht verschieben. Motto: Je dichter der Ausgangspunkt A an der zu berechnenden Nullstelle N der Funktion liegt, desto weniger Iterationsschritte sind notwendig. Lasse aber den Punkt A zunächst in der Ausgangsposition ganz rechts.
    • Mit dem Schieberegler für die Iteration lassen sich 10 Iterationsschritte ausprobieren. Fahre den Regler langsam nach rechts. Was stellst du bzgl. der Punkte (Farbe: grün), (Farbe: gelb) und (Farbe: rot) fest? (Ampelfarben: )
    • In welchem Punkt wird die Tangente (Farbe: blau) konstruiert?
    • Mit welchem Punkt lässt sich die Nullstelle der Tangente beschreiben?
    • Wohin wandern die Punkte mit ?
    • Wie verhält es sich mit dem Abstand der erhaltenen aufeinanderfolgenden Punkte?
    • Wie viele Iterationsschritte sind notwendig, damit die Näherungswerte mit der gegebenen Genauigkeit die exakte Lösung treffen?
    • Die Iteration lässt sich auch animiert darstellen. Klicke auf das Play-Symbol links unten. Mit dem Pause-Symbol kannst du jederzeit die Animation anhalten.
    • Du kannst aber auch während der Animation die Ausgangsgrößen, wie den Ausgangspunkt A, den Rentenendwert (mit Schieberegler), die jährlich, nachschüssige Rate r (mit Schieberegler) und die Anzahl Jahre n (mit Schieberegler) verändern. Studiere den Effekt bzgl. der Höhe der Rendite p, wenn diese Größen nach oben bzw. unten verändert werden.
    • Das Arbeitsblatt kannst du mit dem Symbol rechts oben auf die Ausgangssituation zurück setzen.