Cambio local y direcciones
Hasta ahora hemos estudiado funciones de dos variables a través de su dominio, sus curvas de nivel y su continuidad.
En esta sección comenzaremos a estudiar cómo cambia una función cuando nos movemos una pequeña distancia desde un punto del plano.
La idea central será analizar el cambio local de una función dependiendo de la dirección en que nos desplazamos.
Imagen mental: placa de temperatura
Imaginemos una placa delgada donde a cada punto del plano se le asigna una temperatura.
El valor de la función representa la temperatura en cada punto.
Si estamos parados en un punto del plano y damos un pequeño paso, la temperatura puede aumentar o disminuir dependiendo de la dirección en que nos movamos.
Surgen entonces preguntas naturales:
- Si me muevo un poco desde un punto, ¿cuánto cambia el valor de la función?
- ¿Depende este cambio de la dirección en que me muevo?
- ¿Existen direcciones donde el cambio sea mayor que en otras?
Preparación para la exploración visual
Para explorar estas ideas, trabajaremos con representaciones visuales de funciones mediante colores.
Los colores más intensos representarán valores mayores de la función, mientras que los colores más claros representarán valores menores.
En el applet, el punto corresponde a
,
donde es un vector unitario que determina la dirección.
1. Selecciona una de las funciones disponibles en el menú.
Mantén fijo el punto y fija .
Rota la dirección del vector .
Observa cómo cambia la diferencia .
Nota que el punto se mueve sobre una circunferencia de radio centrada en .
2. Cambia ahora la función y repite el análisis anterior.
¿Notas diferencias en el comportamiento según la función elegida?
3. Fija una dirección del vector .
Acerca el valor de hacia y observa el cociente
.
¿El valor parece estabilizarse?
4. Mueve ahora el punto a otra zona del plano y repite el análisis.
¿El valor hacia el que tiende el cociente depende del punto elegido?
De esta exploración se desprende que, para una dirección fija , el cociente
puede acercarse a un número bien definido cuando se aproxima a .
Este comportamiento depende del punto y de la dirección elegida.
Ejercicio propuesto
Repite la actividad anterior utilizando una función afín de la forma
.
Analiza el comportamiento del cociente
al variar la dirección y al tomar valores de cercanos a .
Compara lo observado con el caso de una función no lineal.
La exploración realizada muestra que es posible asociar un número al cambio promedio de una función cuando nos movemos desde un punto en una dirección dada.
En la siguiente sección formalizaremos esta idea mediante una definición matemática precisa.