[고등수학탐구교실]복소수와 복소평면(2)
복소수 곱셈의 기하학적 의미
복소수의 곱셈 결과를 시각화하는 것은 중요하다. 예를 들어 복소수 에 를 곱하여 얻은 는 원래의 복소수보다 원점에서 배 만큼 떨어진 수이다. 를 곱하여 얻은 역시 원점에서 배 만큼 떨어져있지만, 같은 방향이 아닌 반대 방향에 나타나게 된다. 일반적으로 두 복소수의 곱셈의 기하학적 의미를 설명하기 위해 극형식을 사용한다.
두 복소수를 다음과 같이 극형식으로 나타내었다고 하자.
두 복소수의 곱은
이며, 삼각함수의 덧셈정리에 의해
이다. 이는 복소수의 곱셈을 기하학적으로 설명하면 크기는 곱하고 편각은 더한다는 뜻이다.
예를 들어, 복소수 에 를 곱한다는 것은 원점을 중심으로 반시계방향으로 만큼 회전하는 것과 같다. 그 이유는 의 크기는 이고, 편각은 이기 때문이다.
비슷한 원리로 복소수 를 제곱하는 것은 크기를 제곱하고, 편각은 두 배를 하는 것과 같다.
두 복소수 , 의 곱 의 크기와 편각을 구해보자.
드무아브르의 공식(de Moivre's formula)
임의의 실수 와 정수 에 대하여 다음의 등식이 성립한다.
이 공식은 복소수와 삼각함수 사이의 관계를 보여준다. 좌변을 전개하여 실수부분과 허수부분을 구한 후 우변과 비교하여 와 를 와 만을 이용하여 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라 의 복소근을 쉽게 구할 수 있다.
방정식 의 모든 근을 극형식으로 나타내어보자.
위에서 구한 방정식 의 모든 근을 아래 지오지브라 애플릿에 도구를 이용하여 나타내어보자.
- 점을 중심으로 회전
도구를 이용하여 회전할 대상과 회전의 중심을 순서대로 선택한 후, 각의 크기와 방향을 입력하면 대상을 회전이동할 수 있다. - 모든 근을 나타낸 후 무리수화 명령을 이용하여 나타낸 근을 식으로 나타내어보자. 예를 들어, 복소수 z1이 있다고 할 때, 입력창에 다음과 같이 입력하면 구한 복소수를 식으로 나타낼 수 있다. 무리수화(z_1)
x³=1의 모든 근
방정식 의 모든 근을 아래 지오지브라 애플릿에 도구를 이용하여 복소평면에 점으로 나타내고, 무리수화 명령을 이용하여 식으로 나타내어보자.
x⁴=1의 모든 근
방정식 의 모든 근을 아래 지오지브라 애플릿에 도구를 이용하여 복소평면에 점으로 나타내고, 무리수화 명령을 이용하여 식으로 나타내어보자.
x³=-1의 모든 근
방정식 의 모든 근을 아래 지오지브라 애플릿에 도구를 이용하여 복소평면에 점으로 나타내고, 무리수화 명령을 이용하여 식으로 나타내어보자.
x⁴=-1의 모든 근
실수 에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오.
에 대하여 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
복소수 에 대하여 이 되도록 하는 가장 작은 자연수 의 값을 구하시오.
다음을 만족시키는 이하의 자연수 의 개수를 구하시오.
복소수 에 대하여 일 때, 실수 에 대하여 의 값을 구하시오.