Altri tipi di parabola
- Autore:
- Ilic Ferretti
- Argomento:
- Parabola
Consideriamo l'espressione . Notiamo che ha la stessa forma dell'equazione di una parabola, dove però sono state invertite le e le .
Di conseguenza facendone il disegno potremo dedurre:
- che avrà l'asse di simmetria parallelo all'asse delle , invece che a quello delle ;
- poiché il suo coefficiente , cioè il coefficiente di - attenzione! - , è positivo, avrà la concavità rivolta verso l'"alto" delle , cioè verso destra (le crescono verso destra);
- la sua - attenzione, le lettere sono invertite! - avrà valore , e sostituendola si trova
QUESTA NON È UNA FUNZIONE!
Dal punto di vista geometrico la situazione è chiara.
Cerchiamo invece di approfondire il significato di una curva disposta in questo modo quando la interpretiamo come rappresentazione di una relazione tra due grandezze delle e delle .
L'utilizzo che si fa convenzionalmente del piano cartesiano quando lo si usa per rappresentare delle relazioni o delle funzioni prevede di porre sull'asse orizzontale la variabile indipendente, cioè l'input da cui si parte per ottenere il risultato, e che tale risultato venga collocato sull'asse . Una funzione infatti ha il formato , ed in particolare , dove è l'espressione che ci permette di calcolare la .
Esplicitiamo allora lettera , per ottenere un formato che ci permetta più chiaramente di calcolarne il valore a partire da una certa .
Invertiamo la sua equazione rispetto ad :
Questo è coerente con la figura ottenuta sopra, infatti
- il dominio dell'equazione è dato dalle C.E. cioè , infatti si vede anche in figura che la nostra parabola "esiste", cioè dà risultati, solo da in poi;
- NON è una funzione di , infatti dato un valore di otteniamo due valori di , ad esempio con abbiamo e , come puoi vedere dalla figura.
La parabola prende sia i risultati superiori che quelli inferiori; quando estraiamo la radice possiamo scegliere di considerarne uno solo dei due.
Nell'esempio che segue facciamo il percorso inverso da quello visto ora.
ESEMPIO 1
Come è fatta la curva ?
Vediamo che
- il suo dominio è dato dalle C.E.
- Notiamo inoltre che davanti alla radice c'è un segno meno, quindi il risultato si ottiene togliendo a una quantità positiva (la radice).
Ora per capire meglio la forma della curva eleviamo al quadrato per eliminare la radice, non prima di averla isolata per evitare di dover fare un quadrato di binomio con una radice dentro:
Svolgendo i calcoli (da notare che il davanti alla radice sparisce, e quindi perdiamo l'informazione che la scendeva rispetto a , ecco perchè ne abbiamo tenuto traccia prima)
Abbiamo esplicitato rispetto alle perché era di primo grado e quindi più semplice. Vediamo che si tratta di una parabola orizzontale "triste", cioè verso destra, con vertice , otteniamo sostituendo .
Il vertice è quindi . Aggiungiamo al piano una parabola con queste caratteristiche.
Da notare che la parabola, tratteggiata, ha perso l'informazione che ci diceva che la curva originale aveva "scelto" le sotto il 3. Quindi la parabola non è una funzione - per ogni nel proprio dominio fornisce due risultati - mentre l'equazione con la radice sì, perchè tra questi due risultati sceglie di prendere solo quello minore che scende rispetto a .
Abbiamo perso l'univocità del risultato quando abbiamo elevato al quadrato, che in generale NON mantiene un'equazione equivalente alla precedente ma rischia di aggiungere soluzioni non presenti prima. Infatti se prendiamo l'equazione
essa ha una sola soluzione, ma elevando al quadrato abbiamo , che come sappiamo ha due soluzioni - ma anche , che non era presente originariamente.
È comunque utile passare attraverso la parabola, che è una curva semplice e che conosciamo, per capire meglio come è fatta la funzione - basta ricordarsi di togliere le parti che non fanno parte della curva originale.
ANCORA SULLE PARABOLE CON ASSE PARALLELO ALLE X
Abbiamo detto che le parabole con asse di simmetria orizzontale di fatto hanno invertito le con le .
Sul piano cartesiano, quando si parla di funzioni, le hanno un significato ben preciso: sono la variabile indipendente, l'input che si sceglie per calcolare il risultato. Allo stesso modo l'asse delle è quello lungo il quale si riporta questo risultato.
Invertire le due variabili, quindi, significa scambiare di ruolo la grandezza di partenza con il risultato finale. Si ottiene quella che è chiamata funzione inversa dell'originale.
ESEMPIO 2: La funzione che mi permette di calcolare l'altezza di una pianta in base alla sua età ; in questo caso rappresentandola sul piano cartesiano metterò l'età sulle e l'altezza che ottengo di conseguenza sulle .
Se calcolo la funzione inversa, questa mi permetterà di calcolare, data una certa altezza , la corrispondente età in cui l'albero avrà quella data altezza. Per questa funzione l'età è diventato il risultato e finirà sulle e l'altezza è il dato di partenza e sarà sulle , di conseguenza il suo grafico sarà identico a prima, ma con gli assi scambiati.
Puoi trovare più dettagli sulle funzioni inverse a questo indirizzo: https://www.geogebra.org/m/ahCuGvXP#material/ujautySS
Nel nostro caso, una parabola con asse parallelo all'asse delle è la relazione inversa della corrispondente funzione rappresentata da una parabola con asse parallelo all'asse delle . La relazione inversa però NON è una funzione perché dato un valore di non fornisce un unico risultato.
![Invertendo l'equazione della funzione si trova una relazione (NON una funzione) che fornisce due possibili risultati: [math]\large{s=\pm\sqrt{9-h}}[/math]](https://www.geogebra.org/resource/rurnbj5t/5TZuNNUzfya7hqfQ/material-rurnbj5t.png)
![Per capire la forma della curva della relazione inversa, eleviamo al quadrato, ed ovviamente ritroviamo l'equazione iniziale. Poiché però nel frattempo abbiamo invertito [i]input[/i] ed [i]output[/i], cioè [math]\large{x}[/math] ed [math]\large{y}[/math], quando la rappresentiamo sul piano otteniamo una parabola con asse parallelo all'asse delle [math]\large{x}[/math].](https://www.geogebra.org/resource/fumuedkp/4P80r7SHdwPHPVPd/material-fumuedkp.png)